Oran ve Orantı Nasıl Çözülür ve Sadeleştirilir?

Bir oranı sadeleştirmek, terimleri ortak bölenlerine bölerek aynı ilişkiyi taşıyan en küçük tam sayı karşılığını bulmak demektir. Bir orantıyı çözmek ise A:B = C:D biçimindeki dört değerden üçünü bilip dördüncüsünü, yani eksik olanı, bulmaktır. İkisi de aynı fikre dayanır: oranın iki tarafı arasındaki ilişki sabit kalır, siz sadece o ilişkiyi başka sayılarla yeniden yazarsınız.

Bu iki işlem günlük hayatta sandığınızdan daha sık karşınıza çıkar: bir tarifi büyütmek, bir karışımı doğru yoğunlukta hazırlamak, bir haritanın ölçeğini okumak veya iki fiyatı karşılaştırıp hangisinin daha uygun olduğunu bulmak, hepsi aynı çapraz çarpım ve EBOB mantığına dayanır. Aşağıda önce bir oranı nasıl sadeleştireceğinizi, sonra bir orantıyı nasıl çözeceğinizi adım adım göreceksiniz.

Bir oranı sadeleştirmek

Bir oran, terimlerinin hepsini bölen 1’den büyük bir tam sayı kalmayınca sadeleşmiş sayılır. Buna ulaşmak için terimlerin en büyük ortak bölenini (EBOB) bulur, her terimi bu sayıya bölersiniz. Örneğin bir badana karışımında su ile boyanın oranı 45:75 olarak veriliyor. 45 ile 75’in EBOB’u 15’tir, çünkü 15, 45’in içine tam 3 kez, 75’in içine tam 5 kez girer ve bundan daha büyük hiçbir sayı ikisini birden tam bölmez. Her iki terimi 15’e bölünce oran 3:5’e iner. Karışımın kendisi değişmez, sadece aynı ilişkiyi anlatan en küçük tam sayı çifti ortaya çıkar.

Ondalıklı bir oranı sadeleştirmek de aynı mantıkla işler, sadece önce bir adım daha atarsınız: bütün terimleri tam sayı olana kadar 10, 100 gibi bir sayıyla çarparsınız, sonra her zamanki gibi EBOB’a bölersiniz. 1,5:3 oranı 10 ile çarpılınca 15:30’a döner, bu da 1:2’ye sadeleşir.

Sadeleştirmenin asıl faydası, görünüşte farklı iki oranın aslında aynı ilişkiyi taşıyıp taşımadığını hemen görebilmenizdir. 45:75 ile 3:5’i yan yana koyduğunuzda ikisinin de aynı karışımı anlattığı ilk bakışta belli olmayabilir, ama ikisini de sadeleştirip karşılaştırdığınızda tek bir sayı çiftine indiğini görürsünüz. Bir tarif kitabındaki oran ile bir üreticinin etiketindeki oranı karşılaştırmanız gerektiğinde de aynı yöntem işe yarar.

Orantı nedir, nasıl çözülür

Bir orantı, iki oranın birbirine eşit olduğunu söyler: A:B = C:D. Kesir olarak yazarsanız bu A/B = C/D demektir. Eşitliğin her iki tarafını B ve D ile çarparsanız paydalar sadeleşir ve geriye A × D = B × C kalır. Buna çapraz çarpım denir ve dört değerden hangisi bilinmiyor olursa olsun geçerlidir.

Üç değer bilindiğinde dördüncüsünü bulmak, aynı denklemi yeniden düzenlemekten ibarettir:

• A bilinmiyorsa: A = (B × C) / D
• B bilinmiyorsa: B = (A × D) / C
• C bilinmiyorsa: C = (A × D) / B
• D bilinmiyorsa: D = (B × C) / A

Aynı anda yalnızca bir değer bilinmemelidir. İki değer birden eksikse orantının sonsuz sayıda çözümü olur, çünkü bütün oranı istediğiniz bir katsayıyla büyütüp küçültseniz bile A:B = C:D eşitliği yine sağlanır.

Sonucu bulduktan sonra kısa bir kontrol yapmak iyi bir alışkanlıktır: bulduğunuz değeri yerine koyup A/B ile C/D’yi ayrı ayrı ondalık sayıya çevirin, ikisi eşit çıkmıyorsa bir yerde işlem hatası var demektir. Bu kontrol, özellikle elle yapılan hesaplarda çarpma veya bölme adımında yapılan küçük bir hatayı hemen ortaya çıkarır.

Uygulamalı örnekler

İki zamanlı motor için yakıt karışımı

İki zamanlı bir motorun kullanım kılavuzu benzin ile yağ oranını 50:1 olarak veriyor. Deponuzu 5000 ml benzinle dolduracaksınız ve kaç ml yağ eklemeniz gerektiğini bulmak istiyorsunuz. Bilinmeyeni x olarak orantıya yerleştirin:

50 : 1 = 5000 : x

Çapraz çarpım 50 × x = 1 × 5000 verir, yani 50x = 5000, iki tarafı da 50’ye bölünce x = 100 ml çıkar. 5000 ml benzine karşılık 100 ml iki zamanlı yağ eklemeniz gerekiyor.

Benzin (ml)	Yağ (ml)
50	1
5000	100 (bulunan)

İsterseniz sonucu tersten de doğrulayabilirsiniz: 5000 ml benzini 100 ml yağa bölersiniz, 50 çıkar, yani karışım gerçekten 50:1 oranını koruyor. Üreticinin kılavuzundaki oran her motor için farklı olabilir; bazı iki zamanlı motorlar 40:1 veya 32:1 gibi daha zengin bir karışım ister, bu yüzden hesaplamadan önce doğru oranı kılavuzdan teyit etmek gerekir.

Beton karışımı: üç terimli bir oranı ölçeklemek

Bazı oranlar ikiden fazla terim taşır, orantı yine aynı şekilde çalışır, sadece her terimi aynı katsayıyla çarparsınız. Bir beton tarifi çimento:kum:çakıl oranını 1:2:4 olarak veriyor. Elinizde 25 kg çimento varsa, aynı oranı korumak için kum ve çakılın kaç kilogram olması gerekir?

Ölçek katsayısını bulmak için 25 kg’ı çimentonun oran değeri olan 1’e bölersiniz, katsayı 25 çıkar. Aynı katsayıyı diğer iki terime uygularsınız: kum için 2 × 25 = 50 kg, çakıl için 4 × 25 = 100 kg.

Malzeme	Oran	Miktar
Çimento	1	25 kg
Kum	2	50 kg
Çakıl	4	100 kg

Kontrol etmek isterseniz sonucu çimentoya oranlayın: 25:50:100, her terimi 25’e bölünce yine 1:2:4 çıkar, yani karışım doğru orantıda kalmış.

Kendi oranınızı hesaplayın

Kendi sayılarınızla denemek isterseniz aşağıdaki araç bir oranı sadeleştirir veya bir orantıdaki eksik değeri anında bulur.

Oran Hesaplama

Ücretsiz, kayıt yok, her cihazda çalışır.

Tam aracı aç

Sık yapılan hatalar

• Çapraz çarpımda yanlış çifti çarpmak. A:B = C:D’de çapraz çarpım A×D ve B×C’dir, yani denklemin karşılıklı köşelerindeki değerlerdir. Bunun yerine yan yana duran A ile C’yi çarpmak anlamsız bir sonuç verir.
• Ondalıklı bir oranı, tam sayıya çevirmeden EBOB’a bölmek. 1,5 gibi bir sayıyı ham haliyle bir EBOB’a bölmeye çalışmak kesirin kesri gibi bir sonuç verir. Önce her terimi tam sayı olacak şekilde ölçekleyin, sonra sadeleştirin.
• Bilinmeyenin orantıdaki yerini karıştırmak. Sözel bir problemi orantıya dökerken x’i yanlış kutuya yazmak kolaydır. Orantıyı kurduktan sonra bir kez daha okuyup x’in, sorudaki bilinmeyen miktarın gerçekten bulunduğu yere denk geldiğini kontrol edin.
• Sıfıra bölmek. Bilinmeyenin çapraz köşesindeki terim 0 ise orantının tanımlı bir çözümü yoktur (ya da karşılık gelen bilinen terim de 0 ise her değer orantıyı sağlar). Gerçek hayattan gelen bir orantıda bu köşede sıfır bulunmamalıdır zaten.
• Üç veya daha fazla terimli bir oranı büyütürken sadece bir terimi ölçeklemek. Beton örneğinde çimentoyu 25 ile çarpıp kumu eski değerinde bırakmak, karışımın oranını tamamen bozar. Ölçek katsayısı bulunduktan sonra bu katsayı oranın her terimine, istisnasız, uygulanmalıdır.

Sık sorulan sorular

Bir orantı nasıl çözülür? Çapraz çarpım yaparsınız. A:B = C:D için bu A × D = B × C demektir. Bildiğiniz üç değeri yerine koyup bilmediğinizi bulmak için bölersiniz. 50:1 = 5000:x için çapraz çarpım 50x = 5000 verir, yani x = 100.

Bir oran nasıl sadeleştirilir? Her terimi en büyük ortak bölenlerine bölersiniz. 45:75 oranının EBOB’u 15’tir, iki terimi de 15’e bölünce 3:5 kalır, aynı ilişkiyi taşıyan en küçük tam sayı çifti budur.

Oran ile orantı arasındaki fark nedir? Oran, iki veya daha fazla miktarı karşılaştırır, 3:5 gibi. Orantı ise iki oranın birbirine eşit olduğunu söyleyen bir ifadedir, 3:5 = 6:10 gibi. Bir oranı sadeleştirirsiniz, bir orantıyı çözersiniz.

Bir orantıda birden fazla değer bilinmiyorsa ne olur? Çözülemez. A:B = C:D’de iki değer bilinmiyorsa sonsuz sayıda çözüm vardır, çünkü bütün oran herhangi bir katsayıyla ölçeklenebilir. Dördüncü değeri bulmak için tam olarak üç değerin bilinmesi gerekir.

Oran ve orantı ondalık sayılarla da çalışır mı? Evet, hesaplamanın her adımı ondalık sayılarla da yapılabilir. Sadeleştirilmiş bir oranın sonucu genellikle tam sayı olarak gösterilir, bu yüzden ondalıklı girdiler önce ölçeklenip sonra EBOB’a bölünür; ama orantı çözücü ondalıklı girdi ve çıktıları herhangi bir ek adım gerekmeden doğrudan işler.

Üç terimli bir oranı büyütürken nelere dikkat etmeliyim? Aynı katsayıyı bütün terimlere uygulamanız gerekir. Beton örneğinde olduğu gibi çimentoyu 25 ile çarpıyorsanız kum ve çakılı da aynı 25 ile çarpmalısınız; terimlerden birine farklı bir katsayı uygulamak karışımın oranını bozar.