Slik Løser Du en Proporsjon og Forenkler et Forhold

Å løse en proporsjon betyr å finne den ene ukjente verdien i et uttrykk som A:B = C:D, når du allerede kjenner de tre andre. Å forenkle et forhold betyr noe litt annet: du tar to eller flere tall og reduserer dem til det minste tallparet som beskriver samme forhold mellom dem. Begge deler bygger på samme idé, nemlig at et forhold beskriver en fast relasjon mellom størrelser, uansett hvor store eller små tallene selv er.

Forenkle et forhold

Å forenkle et forhold vil si å dele alle leddene på deres største felles faktor (SFF), slik at du sitter igjen med de minste hele tallene som fortsatt uttrykker samme relasjon. Ta et malingsforhold på 45:75, altså 45 deler av én farge blandet med 75 deler av en annen. SFF til 45 og 75 er 15, siden 45 = 15 × 3 og 75 = 15 × 5. Deler du begge leddene på 15, sitter du igjen med 3:5. Blander du 3 liter av den ene fargen med 5 liter av den andre, får du nøyaktig samme nyanse som med 45 og 75, bare i mindre skala og med tall som er langt lettere å jobbe videre med.

Løse en proporsjon: A:B = C:D

En proporsjon oppstår når to forhold er like, skrevet som A:B = C:D. Siden et forhold ikke er annet enn en brøk (A:B tilsvarer A/B), kan du skrive proporsjonen om til A/B = C/D og løse den med kryssmultiplikasjon. Regelen er enkel: multipliser diagonalt over likhetstegnet, så du får A × D = B × C. Når tre av de fire verdiene er kjent, isolerer du bare den fjerde ved å dele på leddet som står foran den i sitt eget uttrykk.

Sett opp de fire feltene som A:B = C:D og la den ukjente være X. Uansett hvilket av de fire feltene som mangler, følger du samme fremgangsmåte:

1. Skriv proporsjonen som en likhet mellom to brøker, A/B = C/D.
2. Kryssmultipliser: multipliser telleren i det ene forholdet med nevneren i det andre, og omvendt.
3. Sett de to produktene like store, siden det er selve definisjonen av at forholdene er proporsjonale.
4. Løs likningen for X ved å dele begge sider på tallet som står sammen med X.

Legg merke til at det ikke spiller noen rolle hvilken av de fire posisjonene som er ukjent, kryssmultiplikasjon fungerer identisk uansett om X står som A, B, C eller D. Det eneste som endrer seg, er hvilket tall du til slutt deler med for å isolere X alene på den ene siden.

Eksempler fra hverdagen

Den vanligste bruken av proporsjoner er skalering, altså å regne om en oppskrift, en blanding eller et mål til en annen størrelse uten å endre selve forholdet mellom ingrediensene.

Skalere en oppskrift

En kake krever 2 dl mel til 3 egg. Du skal bake en større porsjon og trenger 5 dl mel, hvor mange egg trenger du da for at forholdet skal holde seg likt? Sett opp proporsjonen:

2 dl mel : 3 egg = 5 dl mel : X egg

Skrevet som brøker blir det 2/3 = 5/X. Kryssmultiplikasjon gir 2 × X = 3 × 5, altså 2X = 15. Del begge sider på 2, og du får X = 7,5. Du trenger med andre ord 7,5 egg for å holde samme forhold mellom mel og egg som originaloppskriften. I praksis runder de fleste opp til 8 egg eller bruker et halvt egg ekstra, men det matematisk korrekte svaret er 7,5.

Blande bensin og olje til en totaktsmotor

Motorsager, ryddesager og mange mopeder med totaktsmotor krever en fast blanding av bensin og olje, ofte oppgitt som et forhold som 50:1. Det betyr 50 deler bensin til 1 del olje. Har du 5000 ml bensin, hvor mye olje skal blandes inn?

50 : 1 = 5000 ml bensin : X ml olje

Skrevet om blir det 50/1 = 5000/X. Kryssmultiplikasjon gir 50 × X = 1 × 5000, altså 50X = 5000. Del begge sider på 50, og du sitter igjen med X = 100. Du blander inn 100 ml olje i 5000 ml bensin for å treffe forholdet 50:1 nøyaktig. Bommer du på blandingen, enten med for lite eller for mye olje, er det som regel motoren som tar støyten på sikt, så dette er et av de stedene der å runde av “omtrent riktig” fort blir en dårlig idé.

Begge eksemplene bruker akkurat samme fremgangsmåte: sett opp forholdet som en proporsjon, kryssmultipliser, og del for å isolere den ukjente. Det spiller ingen rolle om det er mel og egg eller bensin og olje, matematikken bak er identisk.

Regn ut med dine egne tall

Kalkulatoren under gjør begge jobbene fra denne artikkelen. Skriv inn et forhold for å forenkle det til laveste hele tall, eller fyll ut tre av de fire feltene i A:B = C:D for å løse for den siste.

Vanlige feil

• Å legge sammen i stedet for å multiplisere kryssvis. Proporsjoner løses med multiplikasjon, ikke addisjon. A:B = C:D betyr aldri at A + D er det samme som B + C, selv om det kan friste å tenke slik når tallene ligger nær hverandre.
• Å bytte om på rekkefølgen i det andre forholdet. Rekkefølgen på leddene må stemme mellom begge sidene av likhetstegnet. Er forholdet mel:egg på venstre side, må det være mel:egg på høyre side også, ikke egg:mel, ellers blir svaret feil selv om regnestykket ditt ser riktig ut.
• Å forenkle et forhold feil ved å bare dele det ene leddet. Skal 45:75 forenkles, må begge leddene deles på samme tall, i dette tilfellet 15. Deler du bare det ene leddet, endrer du selve forholdet i stedet for å forenkle det.
• Å runde av for tidlig i en flertrinns utregning. Rund heller av til slutt, etter at hele kryssmultiplikasjonen og divisjonen er gjort. Runder du et mellomresultat for tidlig, kan avrundingsfeilen forplante seg videre og gi et sluttsvar som er merkbart unøyaktig.

Ofte stilte spørsmål

Hva er forskjellen på et forhold og en proporsjon? Et forhold, som 2:3, beskriver relasjonen mellom to eller flere tall. En proporsjon er en likhet mellom to forhold, som 2:3 = 4:6, og det er proporsjonen du løser når én av de fire verdiene mangler.

Hvordan vet jeg om et forhold er fullt forenklet? Forholdet er fullt forenklet når den største felles faktoren til alle leddene er 1. Har 3 og 5 ingen felles faktor utover 1, er 3:5 allerede så enkelt som det kan bli.

Fungerer kryssmultiplikasjon uansett hvilket felt som er ukjent? Ja. Uansett om den ukjente står som A, B, C eller D i A:B = C:D, setter du opp de to brøkene, kryssmultipliserer, og deler til slutt på tallet som følger den ukjente. Fremgangsmåten er identisk, bare hvilket tall du deler med til slutt endrer seg.

Kan et forhold ha desimaltall i seg? Ja, men et forenklet forhold uttrykkes vanligvis med hele tall. Har du et forhold som 1,5:3, kan du gange begge leddene med 10 for å få 15:30, og deretter forenkle videre til 1:2 på vanlig måte.

Hvorfor blir svaret på en proporsjon noen ganger et desimaltall? Fordi forholdet mellom de to kjente tallene i det ene paret ikke alltid går jevnt opp i det andre paret. I oppskrifteksempelet over gir 2:3 = 5:X et desimalsvar på 7,5, rett og slett fordi 5 ikke er et helt multiplum av 2. Det er ikke en feil, det er bare hvordan tallene faller ut denne gangen.