Como Fazer Regra de Três Simples (e Simplificar uma Razão)

Regra de três simples é o método para descobrir um valor desconhecido quando duas grandezas mantêm uma proporção fixa entre si: você monta A:B = C:D e multiplica em cruz para isolar o número que falta. Simplificar uma razão, por outro lado, é reduzir dois ou mais números a seus menores termos inteiros, dividindo todos pelo maior divisor comum entre eles. São contas curtas, mas que travam bastante gente na hora de montar a proporção do jeito certo.

Como simplificar uma razão

Simplificar uma razão significa achar o maior número que divide todos os termos ao mesmo tempo, o MDC (máximo divisor comum), e dividir cada termo por ele. O resultado descreve exatamente a mesma relação, só que com os menores números inteiros possíveis.

Pegue uma razão de tinta 45:75. Os divisores de 45 são 1, 3, 5, 9, 15 e 45; os de 75 são 1, 3, 5, 15, 25 e 75. O maior divisor em comum entre os dois é 15. Dividindo os dois termos por 15, 45 ÷ 15 = 3 e 75 ÷ 15 = 5, então a razão simplificada é 3:5. Qualquer mistura na proporção 3 partes para 5 partes rende a mesma tinta, só que em quantidade menor.

O que é a regra de três simples

A regra de três simples resolve problemas de proporção direta ou inversa entre duas grandezas, mas o caso mais comum do dia a dia é o direto: quando as duas grandezas crescem ou diminuem juntas, na mesma proporção. Se você já sabe três dos quatro valores de uma proporção A:B = C:D, dá para achar o quarto isolando ele por multiplicação cruzada.

A regra vem direto da definição de proporção: A/B = C/D. Multiplicando os dois lados em cruz, A × D = B × C. A partir daí, basta isolar o valor que falta dividindo pelo termo que sobrou do outro lado. Por exemplo, se o desconhecido é D, a conta fica D = (B × C) / A.

Na prática, o jeito mais fácil de montar isso é escrever as duas grandezas em colunas, cada linha representando uma situação:

A  está para  B
C  está para  D (desconhecido)

Multiplica-se o valor que fica na diagonal com o desconhecido pelos dois valores da outra diagonal, e divide-se pelo valor restante. É essa mesma lógica que estava por trás da conta da tinta lá em cima, só que ali as duas linhas descreviam a mesma proporção em vez de duas situações diferentes.

Exemplos resolvidos

Traço de concreto

Um traço de concreto comum na obra é 1:2:4, ou seja, 1 parte de cimento para 2 partes de areia para 4 partes de brita. Se o pedreiro vai usar 25 kg de cimento, quanto precisa dos outros dois materiais?

A proporção de areia é 1:2 = 25:x. Multiplicando em cruz, 1 × x = 2 × 25, então x = 50 kg de areia.

A proporção de brita é 1:4 = 25:y. Multiplicando em cruz, 1 × y = 4 × 25, então y = 100 kg de brita.

Material	Partes no traço	Quantidade para 25 kg de cimento
Cimento	1	25 kg
Areia	2	50 kg
Brita	4	100 kg

Diluição de produto de limpeza

Um produto de limpeza concentrado pede diluição de 1 parte de concentrado para 20 partes de água, e você precisa preparar 6300 ml de solução pronta ao todo. O truque aqui é que 1:20 dá um total de 21 partes (1 + 20), e essas 21 partes precisam corresponder aos 6300 ml inteiros.

Primeiro acha-se quanto vale uma parte: 6300 ÷ 21 = 300 ml por parte. O concentrado entra com 1 parte, então são 300 ml de concentrado. A água entra com 20 partes, então são 20 × 300 = 6000 ml de água. Conferindo a soma, 300 + 6000 = 6300 ml, batendo com o total pedido.

Componente	Partes	Quantidade
Concentrado	1	300 ml
Água	20	6000 ml
Total	21	6300 ml

Repare que os dois exemplos usam a mesma ideia central, só que de jeitos diferentes: no traço de concreto a razão já estava dada e faltava escalar cada parte individualmente; na diluição, o total já estava dado e foi preciso descobrir primeiro quanto valia cada parte antes de distribuir entre concentrado e água.

Use a calculadora

Se você já entendeu a lógica mas não quer refazer a conta na mão toda vez, a calculadora abaixo simplifica qualquer razão automaticamente e também resolve a proporção A:B = C:D quando você deixa um dos quatro campos em branco.

Calculadora de Razão

Grátis, sem cadastro, funciona em qualquer dispositivo.

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Erros comuns

• Trocar a ordem dos termos ao montar a proporção. Se A representa cimento e B representa areia na primeira linha, C e D também precisam seguir cimento e areia na segunda linha, na mesma ordem. Inverter uma das colunas dá um resultado errado mesmo com a conta de multiplicar certa.
• Aplicar regra de três direta num problema inverso. Existem casos em que uma grandeza aumenta enquanto a outra diminui, como mais pessoas trabalhando terminando um serviço em menos tempo. Nesses casos a multiplicação cruzada muda de lado, e usar a fórmula direta sem perceber isso derruba a resposta.
• Esquecer de simplificar antes de multiplicar números grandes. Reduzir a razão ao menor termo primeiro, como no exemplo da tinta 45:75 virando 3:5, deixa a multiplicação seguinte muito mais rápida e com menos chance de erro de conta.
• Não conferir a resposta pela lógica do problema. Depois de achar o valor, vale checar se ele faz sentido: numa receita que dobra a quantidade de farinha, o número de ovos também deveria subir, nunca cair. Esse teste rápido pega boa parte dos erros de digitação na calculadora.

Perguntas frequentes

Regra de três simples e proporção são a mesma coisa? Proporção é a relação matemática entre duas razões iguais, A:B = C:D. Regra de três simples é o método usado para resolver essa proporção quando um dos quatro valores é desconhecido. Uma é o conceito, a outra é a técnica de cálculo.

Como saber se uma regra de três é direta ou inversa? É direta quando as duas grandezas crescem ou diminuem juntas, como quantidade de ingrediente e número de porções. É inversa quando uma cresce enquanto a outra diminui, como número de trabalhadores e tempo para terminar uma tarefa. Vale parar um segundo e pensar no comportamento das duas grandezas antes de montar a conta, porque a fórmula muda de um caso para o outro.

Por que a multiplicação cruzada funciona? Porque A:B = C:D é o mesmo que dizer A/B = C/D. Multiplicando os dois lados dessa igualdade por B e por D, chega-se em A × D = B × C, que é exatamente a multiplicação cruzada. Não é um truque solto, é só uma consequência direta de como frações iguais se comportam.

Dá para simplificar uma razão com mais de dois termos, como 1:2:4? Dá sim. O procedimento é o mesmo, só que o MDC precisa ser calculado entre os três (ou mais) números ao mesmo tempo, e depois todos os termos são divididos por esse valor. A razão 1:2:4 do traço de concreto, por exemplo, já está no menor termo possível, já que o MDC entre 1, 2 e 4 é 1.

O que fazer quando a divisão não dá um número inteiro? Nada de errado nisso. Muitas proporções do dia a dia resolvem em números com casas decimais, e a resposta continua válida assim mesmo. O importante é manter as unidades e a ordem dos termos coerentes durante toda a conta, não forçar um resultado redondo que a matemática não deu.