Come Fare la Regola del Tre e Semplificare un Rapporto

La regola del tre semplice si fa impostando una proporzione tra due rapporti, A:B = C:D, e moltiplicando in croce i termini noti per trovare quello mancante. Per semplificare un rapporto, invece, basta dividere entrambi i termini per il loro massimo comun divisore, così da ridurlo ai numeri interi più piccoli possibili. Sono due operazioni diverse ma imparentate, e questa guida le spiega entrambe con esempi verificabili a mano.

Chi cerca questi due procedimenti di solito ha davanti un problema concreto: adattare una ricetta, dosare un prodotto, leggere la scala di una piantina o capire in che proporzione mescolare due ingredienti. Vale quindi la pena partire dalla base, cioè cosa significa davvero un rapporto scritto come A:B, prima di arrivare alle formule.

Semplificare un rapporto

Semplificare un rapporto significa trovare la coppia di numeri interi più piccola che esprime la stessa relazione. Prendi un rapporto di vernice mescolata 45:75, per esempio bianco e base colorante in un secchio da imbianchino. Il massimo comun divisore tra 45 e 75 è 15: dividendo entrambi i termini per 15 si ottiene 45 / 15 = 3 e 75 / 15 = 5, quindi il rapporto si riduce a 3:5. Qualunque secchio mescolato in quella proporzione, piccolo o grande, avrà la stessa tonalità.

Un buon modo per verificare di aver semplificato correttamente è confrontare i due valori decimali: 45 / 75 = 0,6 e 3 / 5 = 0,6. Se il rapporto ridotto restituisce lo stesso decimale dell’originale, la semplificazione è corretta. Se i due numeri non condividono nessun fattore comune oltre all’1, come 7:11, il rapporto è già nella sua forma più semplice e non si può ridurre ulteriormente.

La regola del tre semplice: cos’è e come funziona

Nelle scuole italiane la regola del tre semplice è il nome con cui si impara a risolvere una proporzione quando tre valori sono noti e il quarto è incognito. Si scrive come A:B = C:D, cioè A/B = C/D, e si risolve moltiplicando in croce: A × D = B × C. Da questa uguaglianza si isola il termine che manca dividendo per il valore che gli sta accanto.

A : B = C : D
A x D = B x C

Se per esempio manca D, la formula diventa D = (B × C) / A. Se manca A, diventa A = (B × C) / D. Il meccanismo è sempre lo stesso: moltiplica i due termini che stanno in diagonale rispetto all’incognita, poi dividi per il termine rimasto.

Il motivo per cui il prodotto incrociato funziona è che A:B = C:D è solo un altro modo di scrivere l’uguaglianza tra due frazioni, A/B = C/D. Moltiplicando entrambi i membri per B e per D, i denominatori si eliminano e resta A × D = B × C. Non è un trucco a memoria: è la stessa proprietà che si usa per confrontare o sommare frazioni con denominatori diversi.

A	B	C	D	Da trovare	Formula
noto	noto	noto	?	D	D = (B × C) / A
noto	noto	?	noto	C	C = (A × D) / B
noto	?	noto	noto	B	B = (A × D) / C
?	noto	noto	noto	A	A = (B × C) / D

Esempio: il rapporto del caffè

Molti metodi di preparazione a filtro indicano un rapporto caffè:acqua di 1:15. Se hai 20 g di caffè macinato e vuoi rispettare quel rapporto, quanta acqua ti serve? Imposta la proporzione:

1 : 15 = 20 : x
1 x x = 15 x 20
x = 300

Servono 300 g di acqua per 20 g di caffè, mantenendo esattamente il rapporto 1:15.

Esempio: adattare una ricetta

Una ricetta prevede 2 tazze di farina ogni 3 uova. Vuoi preparare una dose più grande con 5 tazze di farina: quante uova servono? La proporzione è 2:3 = 5:x, e si risolve moltiplicando in croce:

2 : 3 = 5 : x
2 x x = 3 x 5
x = 15 / 2 = 7,5

Servono 7,5 uova. In pratica, con le uova intere, si arrotonda a 8 per eccesso oppure si aggiunge mezzo uovo sbattuto a parte, ma il calcolo esatto resta 7,5.

In entrambi gli esempi vale la pena controllare il risultato rimettendolo nella proporzione di partenza. Per il caffè, 1:15 e 20:300 devono dare lo stesso decimale: 1 / 15 = 0,0667 e 20 / 300 = 0,0667, quindi il conto torna. Per la ricetta, 2 / 3 = 0,667 e 5 / 7,5 = 0,667: anche qui il rapporto tra i due termini coincide, segno che l’incognita è stata calcolata correttamente. Questo controllo richiede solo una divisione in più, ma evita di consegnare un risultato con un errore di calcolo passato inosservato.

Calcola con i tuoi numeri

Inserisci un rapporto per ridurlo ai minimi termini, oppure compila tre dei quattro valori di una proporzione e lascia vuoto quello che vuoi trovare. Lo strumento qui sotto fa entrambe le cose.

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Errori comuni

• Moltiplicare i termini nell’ordine sbagliato. Nella proporzione A:B = C:D, il prodotto incrociato corretto è A × D = B × C, non A × C = B × D. Confondere i due porta a un risultato completamente diverso, non solo leggermente sbagliato.
• Mischiare le unità di misura tra i due rapporti. Se un lato della proporzione è in grammi e l’altro in millilitri o in un’unità diversa senza convertire prima, il risultato numerico non ha senso pratico anche se il calcolo è corretto.
• Dimenticare che un rapporto semplificato è equivalente, non identico, all’originale. 45:75 e 3:5 descrivono la stessa proporzione, ma non sono la stessa quantità: il secondo indica solo il rapporto minimo, va poi riportato alla scala reale del problema.
• Arrotondare troppo presto durante i passaggi intermedi. Conviene tenere le cifre decimali fino all’ultimo calcolo e arrotondare solo il risultato finale, altrimenti l’errore si accumula.
• Applicare la regola del tre semplice a una relazione che in realtà è inversa. Se raddoppiare una grandezza dimezza l’altra, come nel caso di più persone che completano lo stesso lavoro in meno tempo, il prodotto incrociato diretto A × D = B × C non si applica: serve la formula della proporzionalità inversa, non quella diretta vista in questo articolo.

Domande frequenti

Cos’è esattamente la regola del tre semplice? È il metodo per trovare il quarto valore di una proporzione quando gli altri tre sono noti. Si imposta come A:B = C:D e si risolve con il prodotto incrociato A × D = B × C, isolando poi l’incognita.

Qual è la differenza tra regola del tre semplice e composta? La regola del tre semplice mette in relazione due sole grandezze, come nel caso del caffè o della ricetta. La regola del tre composta entra in gioco quando le grandezze coinvolte sono tre o più, per esempio quando anche il tempo o il numero di persone coinvolte cambia insieme alle quantità.

Come si semplifica un rapporto senza calcolatrice? Si cerca il massimo comun divisore dei due termini e si dividono entrambi per quel numero. Per 45:75 il massimo comun divisore è 15, quindi il rapporto diventa 3:5. Con numeri piccoli si può procedere per tentativi, con numeri grandi conviene l’algoritmo euclideo o uno strumento dedicato.

La regola del tre funziona sempre con una proporzione diretta? Funziona quando le due grandezze crescono nella stessa direzione, cioè quando raddoppiare una comporta il raddoppio dell’altra, come nel caffè o nella ricetta. Quando invece una grandezza cresce mentre l’altra diminuisce, per esempio più operai che finiscono un lavoro in meno tempo, si parla di proporzionalità inversa e la formula da usare è diversa.

Un rapporto con i decimali si può semplificare? Sì. Basta prima moltiplicare entrambi i termini per una potenza di dieci abbastanza grande da renderli numeri interi, poi procedere come al solito trovando il massimo comun divisore. Per esempio 1,5:3 diventa 15:30 moltiplicando per 10, che si riduce a 1:2.

Come faccio a controllare se ho risolto correttamente una proporzione? Riporta l’incognita trovata nella proporzione originale e dividi i due termini di ciascun rapporto: se i due decimali coincidono, il risultato è corretto. Con l’esempio del caffè, 1 / 15 e 20 / 300 danno entrambi 0,0667, quindi la soluzione è verificata.