比の約分と比例式の解き方 A:B = C:D の求め方をやさしく解説

比の約分は、両方の項を最大公約数で割って一番小さい整数の組み合わせにする作業です。比例式 A:B = C:D を解くときは、内項どうしの積と外項どうしの積が等しくなることを使って、4つのうち分からない1つを求めます。以下で、それぞれのやり方を実例つきで見ていきます。

比を約分する

比の約分は分数の約分とほぼ同じ考え方です。両方の項を、その最大公約数で割ればそれ以上小さくできない形になります。

たとえば塗料を混ぜるとき、青の塗料45mlと白の塗料75mlを混ぜて指定の色を作るとします。この比45:75をそのまま覚えるのは扱いにくいので約分します。45は3×3×5、75は3×5×5に素因数分解できるので、共通する最大公約数は15です。両方を15で割ると45÷15=3、75÷15=5なので、比は3:5まで簡単になります。同じ色をもっと大量に作りたいときも、3:5という比さえ分かっていれば、青3対白5の割合を保ったまま量を増やせます。

比例式 A:B = C:D の考え方

比例式とは、2つの比が等しいという式のことです。A:B = C:D と書いたとき、これは分数の形で A÷B = C÷D と同じ意味を持ちます。

この式には内項と外項という呼び方があります。A:B = C:D を横一列に並べたとき、両端にあるAとDが外項、真ん中にあるBとCが内項です。比例式が成り立つとき、内項どうしの積と外項どうしの積は必ず等しくなります。つまりA×D = B×Cです。

この関係を使えば、A、B、C、Dのうち3つが分かっていれば残り1つを求められます。求めたい値が入る場所によって式を少し組み替えるだけです。たとえばDが分からないときはA×D=B×Cを変形してD=B×C÷Aとし、Aが分からないときはA=B×C÷Dとします。どの項が空欄でも、内項の積と外項の積が等しいという1つのルールから機械的に導けます。

実際に計算してみる

言葉で説明しただけでは分かりにくいので、身近な場面で実際に数字を当てはめてみます。

お米と水の割合

お米を炊くとき、お米と水の割合を1:1.2にするレシピがあるとします。お米を3合(カップ)炊きたいとき、水は何カップ入れればよいでしょうか。

これは1:1.2 = 3:xという比例式です。外項は1とx、内項は1.2と3なので、内項の積と外項の積が等しいという関係から1×x=1.2×3が成り立ちます。右辺を計算すると1.2×3=3.6なので、x=3.6となり、水は3.6カップ必要だと分かります。お米の量が変わっても、1:1.2という割合さえ守れば同じ炊き上がりになります。

地図の縮尺

縮尺1:25000の地図があり、地図上で測った2地点間の距離が3.4cmだったとします。実際の距離は何cmでしょうか。

比例式にすると1:25000 = 3.4:xです。外項は1とx、内項は25000と3.4なので、1×x=25000×3.4という関係になります。右辺を計算すると25000×3.4=85000なので、実際の距離は85000cm、メートルに直すと850mです。地図の縮尺はこのように「地図上の長さ:実際の長さ」という比としてそのまま比例式に使えます。

このツールで自分の数値を計算する

上の例と同じ考え方で、自分が持っている数字をそのまま入れて確認できます。比を入力すれば最大公約数で約分した結果を、A:B = C:Dの3つを埋めれば残り1つの値を、その場で計算します。

比率計算ツール

無料、登録不要、どの端末でも使えます。

フルツールを開く

よくある間違い

• 外項と内項を逆にして掛けてしまう。A:B = C:Dでは、外側のAとD、内側のBとCという並び順を確認してから式を立てます。
• 約分するときに最大公約数ではなく、思いついた適当な数で割ってしまう。3:5のようにそれ以上割れない形になっているか、最後に必ず確認します。
• 単位をそろえずに比例式に入れてしまう。地図の縮尺のように、片方がcmで片方がmといった単位の食い違いがあると、答えの桁がずれてしまいます。
• 比例式が成り立つ前提を忘れて、関係のない2つの数量にそのまま比の考え方を当てはめてしまう。比例式が使えるのは、2つの量が一定の割合で連動して増減する関係にあるときだけです。

よくある質問

比の約分と比例式の違いは何ですか。 比の約分は1つの比をそのまま最小の整数の組み合わせに直す作業で、45:75を3:5にするような計算です。比例式は2つの比が等しいという式A:B = C:Dを立てて、4つの値のうち分からない1つを求める計算です。目的も手順も別のものですが、どちらも比という同じ考え方の上に成り立っています。

内項の積と外項の積が等しいのはなぜですか。 A:B = C:Dという比例式はA÷B = C÷Dと同じ意味です。この式の両辺にBとDを掛けると、A×D = B×Cという形になります。Dは外項、Bは内項なので、結果として外項どうしの積と内項どうしの積が等しくなります。分数の等式を変形しているだけなので、数学的にも自然な結果です。

約分した比の小数値には何の意味がありますか。 2つの項の比を小数で表したものです。たとえば3:5という比の小数値は3÷5=0.6です。整数比だけでなく小数でも比較したいときや、他の比と大小を見比べたいときに使います。項が3つ以上ある比では、1つの小数だけでは全体を表しきれないため、この値は表示されません。

比例式の中に小数や大きな数が入っていても同じ方法で解けますか。 はい、同じ方法で解けます。内項の積と外項の積が等しいという関係は、整数でも小数でも変わりません。地図の縮尺の例のように、片方の項が25000のような大きな数でも、掛け算と割り算だけで答えを求められます。

このツールでは3つ以上の項を持つ比も約分できますか。 はい。比を約分する欄には2:4:6のように3つ以上の項をコロンで区切って入力できます。すべての項に共通する最大公約数で割った結果を返します。ただし比例式A:B = C:Dを解く機能は4つの値を使う形に固定されているため、3項以上の比例式には対応していません。