Sådan løser du en proportion og forenkler et forhold

At forenkle et forhold betyder at dividere begge led med deres største fælles divisor, indtil du står tilbage med de mindste hele tal, der beskriver samme sammenhæng. At løse en proportion betyder at finde en ukendt værdi i en ligning af typen A:B = C:D, og det klares med krydsmultiplikation: A gange D er lig med B gange C. Begge dele bygger på samme princip, at to størrelser holder samme indbyrdes vægt, uanset hvor store eller små de er.

Det er en af de regnefærdigheder, du støder på langt oftere, end skolebøgerne antyder. En opskrift skal skaleres op til flere gæster, en blanding af to stoffer skal ramme et bestemt forhold, et kort er tegnet i en bestemt målestok, eller en model skal bygges i samme proportioner som originalen. I alle de tilfælde kender du typisk tre af de fire tal i proportionen, og krydsmultiplikation giver dig det fjerde uden at gætte eller prøve sig frem.

Forenkle et forhold

Et forhold er forenklet, når begge led ikke længere kan deles med noget fælles tal større end 1. Tag et maleforhold på 45:75, altså 45 dele hvid maling til 75 dele farve. Den største fælles divisor for 45 og 75 er 15, så dividerer du begge led med 15, ender du med 3:5. Det er nøjagtig samme blandingsforhold, bare skrevet med de mindst mulige tal, hvilket gør det lettere at skalere op eller ned uden at regne forkert.

Løs en proportion med krydsmultiplikation

En proportion opstår, når to forhold sættes lig med hinanden: A:B = C:D. Det svarer til brøken A/B = C/D, og fordi de to brøker er lige store, giver det samme resultat at gange på kryds og tværs: A gange D er lig med B gange C. Kender du tre af de fire tal, kan du altid isolere det fjerde ved at flytte de kendte tal over på den anden side af lighedstegnet.

Sig, at du kender A, B og C, men mangler D. Ligningen A × D = B × C omskrives til D = (B × C) / A. Er det i stedet C, der mangler, bliver formlen C = (A × D) / B. Princippet er det samme, uanset hvilket af de fire tal der er det ukendte: sæt de tre kendte tal ind, gang de to diagonale tal sammen, og divider med det tredje.

Det er den samme regel, du bruger, hver gang en opskrift skal skaleres, en blanding skal justeres, eller en model skal tegnes i et bestemt målestoksforhold. Så længe forholdet mellem de to størrelser skal holde sig konstant, er det en proportion, og krydsmultiplikation finder den manglende værdi.

Grunden til, at krydsmultiplikation virker, er, at en brøk ikke ændrer værdi, hvis du ganger tæller og nævner med samme tal. Når A/B = C/D, kan du gange begge sider med B og med D uden at ændre lighedstegnet, og de to nævnere går ud med hinanden på hver sin side. Tilbage står A × D = B × C. Det er ikke et trick, det er bare almindelig brøkregning skrevet om, så du slipper for at holde styr på nævnerne hver gang.

To gennemregnede eksempler

Skaler en opskrift op

En opskrift kræver 2 dl mel til 3 æg. Du vil lave en større portion med 5 dl mel og skal vide, hvor mange æg der skal i. Sæt det op som en proportion:

2 dl mel : 3 æg = 5 dl mel : x æg

Krydsmultiplikationen giver 2 × x = 3 × 5, altså 2 × x = 15, og dermed x = 15 / 2 = 7,5. Du skal bruge 7,5 æg for at holde forholdet mellem mel og æg præcis det samme som i den oprindelige opskrift. I praksis runder de fleste det op eller ned til 7 eller 8 æg, men den matematisk korrekte proportion lander på 7,5.

Bland benzin og olie til en totaktsmotor

Kædesave og knallerter med totaktsmotor kører ikke på ren benzin, men på en blanding af benzin og totaktsolie i et fast forhold, typisk 50:1. Det betyder 50 dele benzin til 1 del olie. Skal du bruge 5000 ml benzin, hvor meget olie skal der i? Her er det tredje led i proportionen allerede givet som en fast blandingsfaktor, så du kan gå direkte til divisionen: 5000 ml delt med 50 giver 100 ml olie. Sat op som en proportion ser det sådan ud:

50 : 1 = 5000 ml benzin : x ml olie

Krydsmultiplikationen giver 50 × x = 1 × 5000, altså x = 5000 / 50 = 100. Der skal 100 ml totaktsolie i de 5000 ml benzin for at ramme det rigtige blandingsforhold. Bland du for lidt olie, kører motoren for varmt og slides hurtigere. Bland du for meget, ryger og soder den, og det kan tilstoppe tændrøret.

Regn selv med dine egne tal

Skriv dit eget forhold ind for at forenkle det, eller udfyld tre af de fire felter i en proportion for at finde det fjerde. Beregneren herunder klarer begge dele med det samme.

Almindelige fejl

At gange de forkerte tal sammen ved krydsmultiplikation. Det er A og D, der ganges sammen, og B og C, det vil sige de to diagonale par, ikke de to tal, der står ved siden af hinanden i samme led. En hurtig kontrol er at sætte den fundne værdi tilbage i den oprindelige proportion og tjekke, at begge brøker faktisk giver samme decimaltal.

At blande om på rækkefølgen af leddene. Hvis A:B = C:D, skal den samme størrelse stå først i begge forhold. Bytter du om, så mel står først i det ene led og æg først i det andet, får du et forkert svar, selv om selve udregningen er rigtig.

At runde for tidligt. Runder du et mellemresultat af, før du er nået til det endelige svar, kan små fejl vokse sig store, især når tallene skal ganges eller deles flere gange efter hinanden. Gem afrunding til allersidst.

At tro, at et forhold kun kan have to led. Et forhold som 3:5:7 mellem tre ingredienser eller tre mål forenkles på samme måde, du dividerer bare alle tre led med deres fælles største fælles divisor i stedet for kun to.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er forskellen på et forhold og en proportion? Et forhold sammenligner to eller flere størrelser, for eksempel 3:5. En proportion er en ligning, hvor to forhold sættes lig med hinanden, for eksempel 3:5 = 6:10. Du forenkler et forhold, men du løser en proportion.

Hvordan forenkler jeg et forhold hurtigt? Find den største fælles divisor for alle leddene, og divider hvert led med den. For 45:75 er den største fælles divisor 15, hvilket giver 3:5. Er tallene store, er Euklids algoritme (gentagen division med resten) hurtigere end at liste alle divisorer op.

Kan jeg bruge krydsmultiplikation, hvis forholdet har decimaltal? Ja, formlen A × D = B × C gælder uanset om tallene er hele tal eller decimaltal. Har du 2,5:4 = x:8, giver krydsmultiplikationen 2,5 × 8 = 4 × x, altså x = 20 / 4 = 5.

Hvorfor giver opskriften 7,5 æg, når man ikke kan bruge et halvt æg? Matematisk er 7,5 det korrekte tal, der bevarer forholdet mellem mel og æg præcis. I praksis slår man et æg ud, bruger halvdelen, eller runder til 7 eller 8 æg, alt efter hvor følsom opskriften er over for den lille afvigelse.

Virker samme metode til at blande rengøringsmidler eller kemikalier? Ja. Et blandingsforhold som 1:20 mellem koncentrat og vand er samme type proportion som benzin-olie-eksemplet ovenfor. Kender du den ønskede totale mængde eller mængden af koncentrat, kan du altid finde den anden værdi ved at gange på kryds og dividere med det tredje tal.

Er en proportion altid en ligning med præcis fire tal? I sin mest almindelige form, ja, A:B = C:D har fire pladser, og du kender tre af dem. Men du kan udvide princippet: kender du et forhold og en samlet mængde, for eksempel at koncentrat og vand tilsammen skal give 6300 ml i forholdet 1:20, kan du regne totalen om til antal dele (1 + 20 = 21 dele), finde hvor meget en enkelt del udgør (6300 / 21 = 300 ml), og derefter gange op: 300 ml koncentrat og 6000 ml vand.