Dreisatz berechnen und Verhältnis vereinfachen: Formel mit Beispielen

Ein Dreisatz berechnet sich, indem man aus einem bekannten Verhältnis A:B = C:D den fehlenden vierten Wert per Kreuzmultiplikation findet: A mal D ist gleich B mal C. Ein Verhältnis vereinfacht man dagegen, indem man alle Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler dividiert, bis sich nichts mehr kürzen lässt. Beide Rechenwege hängen eng zusammen und tauchen in der Praxis ständig gemeinsam auf, zum Beispiel beim Mischen von Kraftstoff, Farbe oder Beton.

In der Schule ist der Dreisatz meist eine der ersten Textaufgaben, bei denen wirklich mit Größen aus dem Alltag gerechnet wird, nicht nur mit abstrakten Zahlen. Genau deshalb bleibt das Verfahren auch nach der Schulzeit relevant: Einkaufsmengen umrechnen, ein Rezept auf mehr Portionen skalieren oder eben ein Mischverhältnis für einen Motor richtig abmessen, das läuft am Ende immer auf dieselbe Proportion hinaus.

Ein Verhältnis auf die kleinste Form bringen

Ein Malerbetrieb mischt für einen bestimmten Blauton 45 ml Farbpigment mit 75 ml Grundfarbe. In der Bestellliste soll das Mischverhältnis aber in der einfachsten Form stehen, nicht mit den tatsächlichen Millilitern. Der größte gemeinsame Teiler von 45 und 75 ist 15. Teilt man beide Zahlen durch 15, ergibt sich 45 / 15 = 3 und 75 / 15 = 5, also ein Verhältnis von 3:5. Egal ob am Ende 45:75, 90:150 oder 9:15 gemischt wird, solange sich beide Zahlen auf 3:5 kürzen lassen, bleibt der Farbton exakt derselbe.

Der Dreisatz: eine Proportion lösen

Der klassische Dreisatz aus der Schule läuft in drei Zeilen ab: Man schreibt zuerst den bekannten Fall auf, rechnet dann auf eine einzelne Einheit herunter und multipliziert diese Einheit anschließend mit der gesuchten Menge hoch. Genau das ist nichts anderes als das Auflösen einer Proportion A:B = C:D nach dem unbekannten Wert.

Aus A:B = C:D folgt A / B = C / D, und multipliziert man beide Seiten über Kreuz, ergibt sich A mal D ist gleich B mal C. Fehlt zum Beispiel D, löst man einfach nach D auf: D = (B mal C) / A. Fehlt stattdessen A, gilt A = (B mal C) / D. Welcher der vier Werte auch fehlt, das Prinzip bleibt gleich: die drei bekannten Werte werden so verrechnet, dass der vierte übrig bleibt.

Das deckt sich vollständig mit dem Schulverfahren. Die “Einheitszeile” des klassischen Dreisatzes entspricht dem Teilen durch B, und das anschließende Hochrechnen auf die gesuchte Menge entspricht dem Multiplizieren mit C. Wer beide Blickwinkel kennt, kann je nach Aufgabe den bequemeren wählen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.

Ein kurzes Beispiel zum Aufwärmen: Ein Rezept verlangt 2 Tassen Mehl auf 3 Eier. Wie viele Eier braucht ein größerer Ansatz mit 5 Tassen Mehl? Die Proportion lautet 2:3 = 5:x. Kreuzweise multipliziert ergibt sich 2 mal x ist gleich 3 mal 5, also x = 15 / 2 = 7,5 Eier. Halbe Eier gibt es zwar nicht in echt, aber in der Rechnung ist das kein Problem, in der Küche wird dafür einfach aufgerundet oder ein Ei verquirlt und nur zur Hälfte verwendet.

Praxisbeispiel: Benzin-Öl-Gemisch für den Zweitaktmotor berechnen

Eine Kettensäge mit Zweitaktmotor verlangt ein Mischverhältnis von 50:1 zwischen Benzin und Öl. Für eine Tankfüllung sollen 5000 ml Benzin abgemessen werden. Wie viel Öl muss dazu?

Als Proportion geschrieben lautet die Aufgabe 50:1 = 5000:x, wobei x die gesuchte Ölmenge in Millilitern ist. Nach der Kreuzmultiplikation gilt 50 mal x ist gleich 1 mal 5000, also x = 5000 / 50 = 100.

Schritt	Benzin	Öl
Mischverhältnis	50 Teile	1 Teil
Auf 1 Teil Benzin heruntergerechnet	1 Teil	1 / 50 Teil
Hochgerechnet auf die Tankfüllung	5000 ml	5000 / 50 = 100 ml

Für 5000 ml Benzin werden also genau 100 ml Zweitaktöl benötigt. Wird stattdessen mit einer anderen Kraftstoffmenge gearbeitet, ändert sich nur die letzte Zeile der Tabelle, die Rechnung selbst bleibt exakt dieselbe: bekannte Menge geteilt durch 50, das Ergebnis ist die passende Ölmenge.

Dieselbe Proportion lässt sich auch in die andere Richtung lösen. Angenommen, in einem bereits angemischten Kanister befinden sich 60 ml Öl, und gesucht ist, wie viel Benzin bei einem Mischverhältnis von 50:1 dazugehört. Die Proportion lautet jetzt 50:1 = x:60, also x = 50 mal 60, geteilt durch 1, ergibt 3000 ml Benzin. Ob die gesuchte Größe vorne oder hinten in der Proportion steht, spielt für das Verfahren keine Rolle, nur die Position der Kreuzmultiplikation ändert sich entsprechend.

Wichtig ist außerdem, das Mischverhältnis nicht mit einer anderen Motorsäge oder einem anderen Hersteller zu verwechseln. Manche Zweitaktmotoren, etwa ältere Mopeds, verlangen ein Verhältnis von 40:1 oder sogar 25:1 statt 50:1. Der Rechenweg bleibt identisch, nur die erste Zahl der Proportion ändert sich, und damit auch das Ergebnis für dieselbe Benzinmenge.

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Häufige Fehler

• Die falschen Werte kreuzweise multiplizieren. Bei A:B = C:D muss A mit D und B mit C verrechnet werden, nicht A mit C. Wer die Diagonalen verwechselt, erhält einen Wert, der zwar plausibel aussieht, aber falsch ist.
• Ein Mischverhältnis wie 50:1 als Prozentzahl statt als Anteilsverhältnis lesen. 50:1 bedeutet 50 Teile Benzin auf 1 Teil Öl, nicht 50 Prozent Öl. Wer das verwechselt, landet bei einer stark überdosierten Mischung.
• Beim Kürzen eines Verhältnisses nur einen Teil durch den ggT teilen. Damit das Verhältnis erhalten bleibt, müssen alle Zahlen durch denselben Teiler dividiert werden, niemals nur eine davon.
• Dezimalverhältnisse vor dem Kürzen ignorieren. Ein Verhältnis wie 1,5:3 lässt sich nicht direkt per ggT kürzen, es muss zuerst auf ganze Zahlen gebracht werden (hier durch Multiplikation mit 10 zu 15:30), bevor sich der ggT anwenden lässt.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Dreisatz und Verhältnis vereinfachen? Beim Dreisatz sind drei von vier Werten einer Proportion bekannt und der vierte wird gesucht. Beim Vereinfachen eines Verhältnisses sind dagegen alle Werte bekannt, sie sollen nur auf die kleinstmöglichen ganzen Zahlen gebracht werden. Beide Rechnungen beruhen auf demselben Konzept, einem festen Verhältnis zwischen Größen, führen aber zu unterschiedlichen Ergebnissen.

Funktioniert der Dreisatz auch bei umgekehrt proportionalen Größen? Der hier beschriebene Dreisatz gilt für direkt proportionale Größen, bei denen ein größerer Ausgangswert auch einen größeren gesuchten Wert ergibt, wie beim Benzin-Öl-Gemisch. Bei umgekehrt proportionalen Aufgaben, etwa wenn mehr Arbeiter eine Aufgabe schneller statt langsamer erledigen, dreht sich das Verhältnis um und die Formel muss entsprechend angepasst werden.

Wie kürzt man ein Verhältnis mit drei oder mehr Zahlen? Man bildet den größten gemeinsamen Teiler aller Zahlen zusammen und teilt jede einzelne dadurch. Für eine Betonmischung im Verhältnis 1:2:4 aus Zement, Sand und Kies ist der ggT bereits 1, das Verhältnis lässt sich also nicht weiter kürzen und bleibt bei 1:2:4.

Kann eine Proportion auch mit Dezimalzahlen gelöst werden? Ja, die Kreuzmultiplikation funktioniert unabhängig davon, ob die bekannten Werte ganze Zahlen oder Dezimalzahlen sind. Das Ergebnis kann dabei selbst eine Dezimalzahl sein, wie im Rezeptbeispiel, bei dem 2 Tassen Mehl zu 3 Eiern im Verhältnis stehen und 5 Tassen entsprechend 7,5 Eier verlangen.

Warum lässt sich ein Verhältnis wie 50:1 nicht weiter kürzen? Weil der größte gemeinsame Teiler von 50 und 1 immer 1 ist. Jede Zahl teilt sich ohne Rest durch 1, aber nur die 1 selbst teilt auch die andere Zahl vollständig, sodass kein größerer gemeinsamer Teiler übrig bleibt. Verhältnisse mit der 1 als zweitem Term sind deshalb automatisch schon in ihrer einfachsten Form.