Så löser du en proportion och förenklar ett förhållande

En proportion löser du genom korsvis multiplikation: i A:B = C:D är A gånger D alltid lika med B gånger C, och du ordnar om den likheten för att hitta det värde som saknas. Ett förhållande förenklar du genom att dela varje term med deras största gemensamma delare, tills talen inte längre går att dela ner ytterligare. Båda räkneoperationerna bygger på samma idé, att två tal står i ett fast inbördes förhållande till varandra, oavsett hur stora eller små de blir.

Att förenkla ett förhållande

Att förenkla ett förhållande innebär att hitta det minsta heltalsparet som beskriver samma proportion. Säg att en målare blandar en kulör med 45 delar vit färg mot 75 delar blå. Största gemensamma delaren för 45 och 75 är 15, så delar du båda talen med 15 får du 45 / 15 = 3 och 75 / 15 = 5, det vill säga förhållandet 3:5. Blandningen är exakt densamma, men talen är så små de kan bli, vilket gör det enkelt att skala upp eller ner receptet till valfri mängd färg.

Så löser du en proportion, steg för steg

En proportion skrivs A:B = C:D, och den säger att de två förhållandena är lika stora även om talen skiljer sig åt. Tricket för att lösa ut ett okänt värde heter korsvis multiplikation: du multiplicerar diagonalt över likhetstecknet, A × D = B × C, och löser sedan ut den variabel som saknas.

Så om du känner A, B och C men saknar D, ställer du upp det som:

A : B = C : D
A × D = B × C
D = (B × C) / A

Samma princip gäller oavsett vilken av de fyra positionerna som är okänd. Sätt bara den kända produkten på ena sidan och dela med det tal som står kvar bredvid den okända termen. Nedan är två fullständiga exempel, ett från köket och ett från garaget.

Exempel 1: skala upp ett recept

Ett recept säger 2 dl mjöl till 3 ägg. Du vill baka en större sats med 5 dl mjöl och behöver veta hur många ägg som krävs för att hålla samma proportion. Ställ upp proportionen med det okända antalet ägg som x:

2 dl mjöl : 3 ägg = 5 dl mjöl : x ägg
2 × x = 3 × 5
2x = 15
x = 15 / 2 = 7,5

Du behöver alltså 7,5 ägg till 5 dl mjöl. I praktiken innebär det sex hela ägg plus ett halvt uppvispat ägg, eller att du helt enkelt rundar av till 7 eller 8 beroende på hur känslig degen är för vätskemängden. Poängen är att proportionen mellan mjöl och ägg hålls konstant hela tiden, oavsett hur stor sats du bakar.

Exempel 2: bensin-oljeblandning till en tvåtaktsmotor

Många motorsågar och mopeder med tvåtaktsmotor kräver att bensinen blandas med olja i ett bestämt förhållande, ofta 50:1. Det betyder 50 delar bensin till 1 del olja. Har du tankat 5000 ml bensin, hur mycket olja ska blandas i?

50 : 1 = 5000 ml bensin : x ml olja
50 × x = 1 × 5000
50x = 5000
x = 5000 / 50 = 100

Svaret är 100 ml olja till 5000 ml bensin. Blandar du för lite olja slits motorn ut i förtid eftersom smörjningen inte räcker till, blandar du för mycket ryker den och sotar tändstiftet. Att räkna ut exakt mängd i stället för att uppskatta är den enda säkra metoden, särskilt eftersom förhållandet skiljer sig mellan olika motorer och tillverkare.

Räkna med dina egna värden

Skriv in ett förhållande för att förenkla det, eller fyll i tre av fyra rutor i en proportion och låt kalkylatorn räkna ut den fjärde.

Vanliga misstag

• Att multiplicera fel par av tal. Korsvis multiplikation betyder just diagonalt, A med D och B med C. Multiplicerar du i stället A med B eller C med D får du inget meningsfullt samband alls.
• Att blanda ihop vilken position som är okänd. Innan du sätter upp ekvationen, skriv tydligt ut vilken av de fyra platserna, A, B, C eller D, som är den du söker. Ett vanligt fel är att lösa ut fel variabel av misstag och sedan tolka svaret som om det gällde en annan storhet.
• Att förenkla ett förhållande med fel delare. Delar du bara med en gemensam faktor, till exempel 5 i stället för den största gemensamma delaren 15 för 45 och 75, blir resultatet 9:15 i stället för 3:5. Det är fortfarande samma proportion, men inte i sin enklaste form.
• Att glömma att en proportion kräver exakt en okänd. Har du bara två av de fyra värdena kan du inte lösa ut något alls utan mer information, och har du alla fyra finns inget att räkna ut, du kan bara kontrollera om de faktiskt bildar en giltig proportion.

Vanliga frågor

Vad är skillnaden mellan ett förhållande och en proportion? Ett förhållande, som 3:5, jämför två eller flera tal med varandra. En proportion är ett påstående om att två förhållanden är lika, som 3:5 = 6:10. Du förenklar ett förhållande, men du löser en proportion.

Hur vet jag att ett förhållande är helt förenklat? Kontrollera att den enda gemensamma delaren mellan termerna är 1. För 3:5 finns ingen faktor större än 1 som delar båda talen jämnt, så förhållandet är i sin enklaste form. Har termerna en gemensam faktor kvar, som 9 och 15 som båda är delbara med 3, är förhållandet inte färdigförenklat än.

Fungerar korsvis multiplikation även med decimaltal? Ja. Metoden A × D = B × C gäller oavsett om termerna är heltal eller decimaltal, precis som i receptexemplet där svaret blev 7,5. Skriver du i stället in en decimal i förenklingsrutan, till exempel 1,5:3, skalar kalkylatorn upp talen till heltal internt innan den förenklar, så resultatet blir 1:2.

Kan en proportion ha mer än fyra tal? Den klassiska proportionsformen A:B = C:D har alltid fyra positioner med exakt en okänd. Vill du i stället jämföra eller förenkla ett förhållande med tre eller fler termer samtidigt, som 2:4:6, använder du förenklingsdelen av kalkylatorn i stället, den hanterar valfritt antal termer på en gång.

Varför blir svaret ibland ett tal med decimaler, som 7,5 ägg? Matematiken bryr sig inte om att ett halvt ägg är opraktiskt i verkligheten, den ger bara det exakta talet som håller proportionen konstant. I praktiken avrundar du sedan till det som går att mäta eller hantera, till exempel genom att vispa upp ett extra ägg och använda hälften, utan att det egentligen förändrar receptets balans nämnvärt.