EBOB ve EKOK Nasıl Hesaplanır: Öklid Algoritması ve Örnekler

EBOB, iki veya daha fazla sayıyı kalansız bölen en büyük tam sayıdır. EKOK ise bu sayıların hepsinin tam katı olduğu en küçük pozitif tam sayıdır. 12 ve 18 örneğinde EBOB 6, EKOK ise 36’dır; aşağıda ikisini de elle nasıl bulacağınızı, nerede işinize yarayacağını ve hangi hataların en sık yapıldığını göreceksiniz.

Bu ikisi neden işe yarar

EBOB ve EKOK, saf matematik alıştırmasından ibaret değil. Kesir toplarken ortak payda ararsınız, o payda aslında paydaların EKOK’udur. Bir kesri sadeleştirirken pay ve paydayı ortak bölenlerine bölersiniz, en hızlı sadeleştirme EBOB ile yapılandır. Tekrarlayan olayları programlarken (biri her 4 günde, diğeri her 6 günde tekrarlayan iki görev ne zaman aynı güne denk gelir) cevap EKOK’tur. Dişli ve kasnak oranlarını sadeleştirirken, tarifi büyütüp küçültürken, hatta yazılımda döngü periyotlarını hizalarken de aynı iki kavrama geri dönersiniz.

Öklid algoritması

İki sayının EBOB’unu bulmanın en hızlı yolu Öklid algoritmasıdır. a ve b iki tam sayı olsun (a büyük olan). Adımlar şöyle:

1. a’yı b’ye bölün, kalanı r olarak not edin.
2. a yerine b’yi, b yerine r’yi koyun.
3. Kalan 0 olana kadar tekrarlayın. Sıfırdan hemen önceki b değeri, aradığınız EBOB’dur.

12 ve 18 üzerinde deneyelim. Bölme işlemlerini tabloya dökersek:

Bölünen	Bölen	Bölüm	Kalan
18	12	1	6
12	6	2	0

Kalan sıfıra düştüğünde bir önceki bölen olan 6, EBOB(12, 18) değeridir. EKOK’a geçmek için de tek bir formül yeterli: EKOK(a, b) = (a × b) / EBOB(a, b). Burada EKOK(12, 18) = (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36 çıkar.

Bunu kesirlerle de doğrulayabilirsiniz. 1/12 + 1/18 toplamak için ortak payda gerekir, bu payda tam olarak EKOK(12, 18) = 36’dır. 1/12’yi payda ve paydayı 3 ile çarparak 3/36’ya, 1/18’i payda ve paydayı 2 ile çarparak 2/36’ya çeviriyoruz, toplam 5/36 oluyor. Aynı iki sayı ters yönde de işe yarar: 12/18 kesrini sadeleştirmek isterseniz pay ve paydayı EBOB olan 6’ya bölersiniz, 2/3 kalır.

EBOB × EKOK = a × b özdeşliği

İki sayı için güzel bir kısayol var: EBOB ile EKOK’un çarpımı, o iki sayının çarpımına eşittir. 12 ve 18 örneğinde 6 × 36 = 216, ve 12 × 18 de 216. İkisi tutuyor.

Ancak bu özdeşlik yalnızca tam olarak iki sayı için geçerlidir. Üç veya daha fazla sayı söz konusu olduğunda EBOB(a,b,c) × EKOK(a,b,c), a × b × c’ye genel olarak eşit değildir. Bu, hesap makinesi kullanmadan elle işlem yaparken insanların en sık düştüğü tuzaklardan biri; formülü ikiden fazla sayıya genişletmeye çalışmayın, işe yaramaz.

Üç sayıyla çalışmak

EKOK ile programlama: 4, 6 ve 15 gün

Diyelim ki bir görev her 4 günde bir, ikinci bir görev her 6 günde bir, üçüncüsü de her 15 günde bir tekrarlıyor. Üçünün aynı gün tekrar çakışması kaçıncı günde olur? Cevap EKOK(4, 6, 15)‘tir.

Önce ikisini birleştiriyoruz: EKOK(4, 6) = 12. Ardından bu sonucu üçüncü sayıyla birleştiriyoruz: EKOK(12, 15) için önce EBOB(12, 15) = 3 bulunur, sonra EKOK(12, 15) = (12 × 15) / 3 = 60 çıkar. Yani EKOK(4, 6, 15) = 60. Üç görev de 60 gün sonra yeniden aynı güne denk gelir.

EBOB ile sadeleştirme: 36, 60 ve 84

Şimdi tam tersi bir ihtiyaç: bir oranı veya tarifi en küçük tam sayı oranına indirmek. 36, 60 ve 84 sayılarının ortak bölenini bulalım. İlk iki sayıdan başlıyoruz: EBOB(36, 60) = 12. Bu sonucu üçüncü sayıyla birleştiriyoruz: EBOB(12, 84) = 12. Demek ki EBOB(36, 60, 84) = 12. Üç değeri de 12’ye bölerseniz 3, 5 ve 7 kalır, bu artık sadeleştirilemeyen en küçük tam sayı oranıdır.

Asal çarpanlara ayırma yöntemi

Öklid algoritmasına alternatif bir yöntem de asal çarpanlara ayırmaktır, özellikle ikiden fazla sayı varken veya EKOK ararken pratiktir. 12 ve 18’i tekrar ele alalım:

12 = 2² × 3 18 = 2 × 3²

EBOB için her ortak asal çarpanın en düşük üssünü alırsınız: 2¹ × 3¹ = 6. EKOK için ise her iki sayıda geçen her asal çarpanın en yüksek üssünü alırsınız: 2² × 3² = 4 × 9 = 36. Sonuç, Öklid algoritmasıyla bulduğumuz EBOB 6 ve EKOK 36 ile birebir örtüşüyor, bu da iki yöntemin birbirini doğrulamak için nasıl kullanılabileceğini gösteriyor.

Gerçek hayattan bir örnek: dişli oranı

48 dişli bir çark ile 18 dişli bir çarkın birbirine geçtiğini düşünün. Diş sayıları oranını sadeleştirmek için EBOB(48, 18) = 6 bulunur, bu da oranı 48/6 : 18/6, yani 8:3’e indirger.

Şimdi de iki çarkın ne zaman başladıkları hizaya yeniden döneceğini soralım. Cevap EKOK(48, 18) = 144’tür. 48 dişli çark, başlangıç hizasına dönmek için 144 / 48 = 3 tam tur atması gerekir; 18 dişli çark ise 144 / 18 = 8 tam tur atması gerekir. Her iki çark da bu turların sonunda aynı anda başlangıç konumuna geri döner.

Kendi sayılarınızla hesaplayın

Yukarıdaki örnekleri kendiniz tekrarlamak veya farklı sayılarla denemek isterseniz aşağıdaki araç EBOB, EKOK, asal çarpanlara ayırma ve iki sayı için Öklid adımlarını anında gösterir.

EBOB ve EKOK Hesaplama

Ücretsiz, kayıt yok, her cihazda çalışır.

Tam aracı aç

Sık yapılan hatalar

• EBOB ile EKOK’u karıştırmak. EBOB her zaman girdiğiniz sayılardan küçük veya onlara eşittir, EKOK ise her zaman büyük veya eşittir. Sonucunuz bu mantığa aykırıysa bir yerde hata var demektir.
• EBOB × EKOK = a × b özdeşliğini üç veya daha fazla sayıya uygulamak. Yukarıda gösterildiği gibi bu kısayol yalnızca tam olarak iki sayı için geçerlidir, üçüncü bir sayı eklendiğinde çöker.
• Sıfırı unutmak. Kural gereği EKOK(herhangi bir sayı, 0) = 0’dır, çünkü 0 ile pozitif bir sayının ortak katı yoktur. EBOB(0, n) ise n’dir, sıfırlar EBOB hesabında yok sayılır.
• Kesir sadeleştirirken EKOK, ortak payda ararken EBOB kullanmak. Bu ikisi ters yönlerde çalışır: ortak payda EKOK’tur, sadeleştirme ise EBOB gerektirir. Hangisini aradığınızı karıştırmak yanlış sonuca götürür.

Sıkça sorulan sorular

EBOB × EKOK = a × b özdeşliği üç veya daha fazla sayı için de geçerli mi? Hayır. Bu özdeşlik yalnızca tam olarak iki sayı için doğrudur. Üçüncü bir sayı eklediğinizde EBOB(a,b,c) × EKOK(a,b,c) genel olarak a × b × c’ye eşit çıkmaz; yukarıdaki 4. bölümde bunun neden ve nasıl kırıldığını görebilirsiniz.

Büyük iki sayının EBOB’unu elle bulmanın en hızlı yolu nedir? Öklid algoritması. Tüm ortak bölenleri tek tek listelemek yerine ardışık bölme ve kalan işlemleriyle ilerlersiniz, bu da özellikle üç veya dört haneli sayılarda çok daha az adımda sonuca ulaştırır.

EBOB veya EKOK sıfır ya da negatif olabilir mi? EBOB ve EKOK, tanım gereği pozitif tam sayılar için tanımlanır. Negatif girdi verirseniz bir hesap makinesi genelde mutlak değerlerini kullanır. Sıfır özel bir durumdur: EKOK(n, 0) kural gereği 0’dır, EBOB(n, 0) ise n’e eşittir.

Sadece ortak bölenleri veya katları listelemekle aradaki fark ne? Küçük sayılarda listeleme işe yarar ve sezgiseldir, ama sayı büyüdükçe ölçeklenmez; iki haneli sayılarda bile onlarca katı elle yazmak zaman kaybettirir. Asal çarpanlara ayırma veya Öklid algoritması, aynı sonuca çok daha az adımda ve daha büyük sayılarda bile güvenilir şekilde ulaştırır.