SFD og MFM: Sådan finder du største fælles divisor og mindste fælles multiplum
SFD, den største fælles divisor (også kaldet største fælles mål), er det største tal der går op i to eller flere hele tal uden at der bliver noget til overs. MFM, det mindste fælles multiplum, er det mindste positive tal som alle tallene går op i. Tag 12 og 18: SFD er 6, MFM er 36. De to størrelser optræder sammen overalt, og at kunne regne sig frem fra a og b til begge dele i hånden er en færdighed man rent faktisk bruger, ikke bare en skoleopgave.
Det dukker op alle de steder hvor størrelser skal gå op i hinanden. Skal du lægge brøker med forskellige nævnere sammen, skal du finde et MFM (den mindste fælles nævner). Skal du forkorte en brøk eller et forhold, dividerer du med et SFD. To tandhjul med forskelligt antal tænder vender tilbage til samme indstilling efter et antal omdrejninger bestemt af deres MFM. Alt der gentager sig i cyklusser, en busrute, et blinkende lys, en tilbagevendende opgave, falder igen sammen med en anden cyklus ved deres fælles MFM. Skal en opskrift eller en blanding skaleres ned til de mindste hele tal der bevarer forholdet, dividerer du hver mængde med deres fælles SFD.
Euklids algoritme
Den hurtigste måde at finde SFD for to tal i hånden på kræver slet ikke at man lister alle divisorer op. For a > b:
- Divider a med b, og notér resten, r.
- Erstat a med b, og erstat b med r.
- Gentag indtil r bliver 0. Den sidste værdi af b, der ikke var 0, er SFD.
Når du har SFD, følger MFM af en enkelt division: MFM(a, b) = (a × b) / SFD(a, b).
Her er algoritmen kørt på 12 og 18:
| Dividend | Divisor | Kvotient | Rest |
|---|---|---|---|
| 18 | 12 | 1 | 6 |
| 12 | 6 | 2 | 0 |
Resten rammer 0 på anden linje, så SFD er divisoren fra det trin: 6. Sætter man det ind i MFM-formlen, får man (12 × 18) / 6 = 216 / 6 = 36.
Det MFM på 36 er præcis den mindste fælles nævner du skal bruge for at lægge 1/12 + 1/18 sammen. Omskriver man begge brøker til 36-dele, får man 1/12 = 3/36 og 1/18 = 2/36, så summen bliver 5/36. SFD på 6 spiller en anden rolle: det er det tal du dividerer med for at forkorte 12/18 ned til 2/3, altså den simpleste form. Samme to tal, to helt forskellige opgaver.
Hvorfor SFD × MFM = a × b kun gælder for to tal
For to vilkårlige tal gælder en pæn sammenhæng: SFD(a, b) × MFM(a, b) = a × b. Tjek den med 12 og 18: 6 × 36 = 216, og 12 × 18 = 216. De stemmer overens, og det er ikke tilfældigt, det gælder for ethvert talpar.
Det er fristende at tro at samme sammenhæng bare skalerer op når man lægger et tredje tal til, og det er en ægte faldgrube det er værd at nævne: det gør den ikke. SFD(a, b, c) × MFM(a, b, c) er generelt ikke lig med a × b × c, så snart man er forbi to tal. Forholdet mellem SFD og MFM for tre eller flere værdier er mere kompliceret end en enkelt multiplikation, så brug ikke denne genvej uden for tilfældet med to tal.
At arbejde med tre tal
Tidsplanlægning: MFM for tre tal
Sig at en opgave gentages hver 4. dag, en anden hver 6. dag, og en tredje hver 15. dag. Hvornår falder alle tre sammen igen? Det er MFM af 4, 6 og 15, og man kommer derhen ved at kombinere to tal ad gangen: først MFM(4, 6) = 12, og derefter MFM(12, 15). I det andet trin er SFD(12, 15) = 3, så MFM(12, 15) = (12 × 15) / 3 = 60. Alle tre opgaver rammer samme dag igen efter 60 dage.
Forenkling af et forhold: SFD for tre tal
Samme fremgangsmåde, to tal ad gangen, virker for SFD. Tag 36, 60 og 84, tal man måske forsøger at forkorte til det simpleste hele-tal-forhold. SFD(36, 60) = 12, og derefter SFD(12, 84) = 12 igen, så SFD(36, 60, 84) = 12. Dividerer man alle tre med 12, får man 3, 5 og 7, den simpleste form af forholdet. Det er præcis det man gør når man skalerer en opskrift eller en blanding ned til de mindste hele mængder, der bevarer de samme proportioner.
Primfaktorisering: en alternativ metode
Euklids algoritme er den hurtigste vej for to tal, men primfaktorisering er ofte mere gennemskuelig når der er tre eller flere tal med i spillet, eller når man vil se præcis hvorfor svaret bliver som det bliver.
Splitter man 12 og 18 op i primfaktorer, får man 12 = 2² × 3, og 18 = 2 × 3².
Til SFD tager man den laveste potens af hver primfaktor de to tal har til fælles: 2¹ × 3¹ = 6. Til MFM tager man den højeste potens af hver primfaktor der optræder i mindst ét af tallene: 2² × 3² = 4 × 9 = 36.
Begge svar, SFD 6 og MFM 36, stemmer overens med det Euklids algoritme gav tidligere. Den overensstemmelse er en god ting at tjekke, hver gang man regner det i hånden: hvis de to metoder er uenige, er der en regnefejl et sted.
Et eksempel fra den virkelige verden: tandhjulsforhold
Forestil dig to tandhjul der griber ind i hinanden, det ene med 48 tænder, det andet med 18. SFD af 48 og 18 er 6, så tandforholdet forkortes til 48/6 : 18/6, altså 8:3. Det er den simpleste hele-tal-beskrivelse af, hvordan de to tandhjul forholder sig til hinanden.
MFM svarer på et andet spørgsmål: hvor mange omdrejninger går der, før begge tandhjul igen står præcis i deres udgangsposition på samme tidspunkt? MFM(48, 18) = 144. Det store tandhjul med 48 tænder gennemfører 144/48 = 3 hele omdrejninger i den tid, og det lille med 18 tænder gennemfører 144/18 = 8 hele omdrejninger. Tre omdrejninger af det store hjul og otte af det lille bringer dem begge tilbage til udgangspunktet, samtidig.
Beregn med dine egne tal
Adskil værdier med kommaer, mellemrum eller linjeskift. Decimaler ignoreres.
Indtast mindst to heltal for at se SFD og MFM.
- Tal
- —
- Indbyrdes primiske
- —
Primtalsfaktorisering
Euklids algoritme
Almindelige fejl og specialtilfælde
- At forveksle SFD og MFM. SFD er altid den mindste af de to værdier (eller lig med), MFM er altid den største (eller lig med). Kommer dit SFD ud større end dit MFM, er der gået noget galt.
- At bruge SFD × MFM = a × b på tre eller flere tal. Som beskrevet ovenfor gælder den sammenhæng kun for to tal.
- At glemme nul-konventionen. MFM(et vilkårligt tal, 0) er per konvention 0, fordi intet er et fælles multiplum af 0 og et positivt heltal. SFD(0, n) er derimod bare n.
- At bruge den mindste fælles nævner, når man egentlig skulle bruge SFD, eller omvendt. At finde en fælles nævner for at lægge brøker sammen kræver et MFM. At forkorte en brøk til simpleste form kræver et SFD. De to blandes let sammen af vane, især under tidspres.
Ofte stillede spørgsmål (FAQ)
Gælder SFD × MFM = a × b for tre eller flere tal? Nej. Den sammenhæng er kun garanteret for præcis to tal. For 12 og 18 holder den (6 × 36 = 216 = 12 × 18), men for tre tal som 36, 60 og 84 giver SFD ganget med MFM generelt ikke det samme som produktet af alle tre værdier. Kombinér i stedet tallene to og to, som vist i eksemplerne med tre tal ovenfor.
Hvad er den hurtigste måde at finde SFD for to store tal i hånden? Euklids algoritme. At liste alle divisorer op for et stort tal går langsomt meget hurtigt, men gentagen division (divider, behold resten, gentag) når frem til SFD på blot nogle få trin, selv for tal i tusinder eller millioner.
Kan SFD eller MFM være nul eller negative? SFD og MFM er defineret for positive heltal. Per konvention er SFD(0, n) lig med n, og MFM(et vilkårligt tal, 0) er lig med 0. En beregner vil typisk tage den numeriske værdi af et negativt input, før den beregner nogen af delene.
Hvordan adskiller dette sig fra bare at liste fælles divisorer eller multipla op? At liste divisorerne for hvert tal op og vælge den største de har til fælles fungerer fint for små tal, og at liste multipla op indtil to matcher, fungerer på samme måde for MFM. Begge fremgangsmåder bliver dog uoverskuelige, når tallene vokser. Euklids algoritme og primfaktorisering når frem til samme svar med langt færre trin, og skalerer til tal man aldrig ville gide faktorisere i hånden.