Breuken Optellen en Aftrekken met Verschillende Noemers
Om breuken met verschillende noemers op te tellen of af te trekken, zoek je eerst een gemeenschappelijke noemer (het kleinste gemene veelvoud, of kgv, van de twee noemers), herschrijf je beide breuken met die noemer en tel of trek je daarna alleen de tellers op. De noemer blijft in die stap ongewijzigd. Hieronder staat de methode stap voor stap, met twee volledig uitgewerkte voorbeelden.
De methode in vier stappen
- Bepaal het kgv van de twee noemers. Dat is het kleinste getal waar beide noemers zonder rest in passen.
- Zet elke breuk om naar een equivalente breuk met dat kgv als noemer. Vermenigvuldig teller en noemer van elke breuk met hetzelfde getal.
- Tel de tellers op of trek ze af, en behoud de gemeenschappelijke noemer. Dit is de enige stap waarin je echt rekent.
- Vereenvoudig het resultaat. Deel teller en noemer door hun grootste gemene deler, als die groter is dan 1.
De reden dat je niet gewoon de noemers zelf kunt optellen, zit in wat een breuk betekent: de noemer geeft aan hoe groot elk stukje is, en je kunt geen kwarten bij zesden optellen zonder ze eerst even groot te maken. Zodra beide breuken in dezelfde “stukjesgrootte” staan, is optellen niets meer dan de aantallen stukjes bij elkaar opreken.
Er zijn twee manieren om het kgv van stap 1 te vinden. De eerste is de veelvoudenrij: schrijf de veelvouden van beide noemers op tot je er eentje ziet die in beide rijen voorkomt. Dat werkt prima bij kleine getallen zoals 4 en 6. De tweede manier is sneller bij grotere noemers: vermenigvuldig de twee noemers met elkaar en deel dat product door hun grootste gemene deler. Voor 8 en 12 geeft dat (8 x 12) / 4 = 24, want de grootste gemene deler van 8 en 12 is 4. Beide manieren komen op hetzelfde getal uit, dus kies gewoon degene waar je sneller mee rekent.
Voorbeeld 1: 1/4 + 1/6
Begin met het kgv van 4 en 6. De veelvouden van 4 zijn 4, 8, 12, 16…, en de veelvouden van 6 zijn 6, 12, 18… Het eerste getal dat in beide rijtjes voorkomt is 12, dus kgv(4, 6) = 12.
Zet nu beide breuken om naar twaalfden:
- 1/4 = 3/12 (teller en noemer vermenigvuldigd met 3)
- 1/6 = 2/12 (teller en noemer vermenigvuldigd met 2)
Tel de tellers op en behoud de noemer:
1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12De grootste gemene deler van 5 en 12 is 1, dus 5/12 staat al in de eenvoudigste vorm. Klaar.
Voorbeeld 2: 2 1/3 − 1 3/4 (met gemengde getallen)
Gemengde getallen maken aftrekken lastiger, omdat je soms van het hele getal moet “lenen” als het breukdeel van het tweede getal groter is dan dat van het eerste. Dat probleem verdwijnt volledig als je eerst beide gemengde getallen omzet naar onechte breuken.
Zet 2 1/3 om: vermenigvuldig het hele getal met de noemer en tel de teller erbij op, zet dat resultaat boven dezelfde noemer.
2 1/3 = (2 x 3 + 1) / 3 = 7/3Doe hetzelfde met 1 3/4:
1 3/4 = (1 x 4 + 3) / 4 = 7/4Nu heb je een gewone aftrekking van twee onechte breuken: 7/3 − 7/4. Het kgv van 3 en 4 is 12, want 3 en 4 delen geen gemeenschappelijke factor buiten 1. Zet beide breuken om naar twaalfden:
- 7/3 = 28/12 (teller en noemer vermenigvuldigd met 4)
- 7/4 = 21/12 (teller en noemer vermenigvuldigd met 3)
Trek de tellers van elkaar af:
28/12 - 21/12 = 7/12De grootste gemene deler van 7 en 12 is 1, dus 7/12 is al vereenvoudigd. Dat is meteen het antwoord op 2 1/3 − 1 3/4.
Een snelle controle met decimalen bevestigt het: 2 1/3 is ongeveer 2,3333 en 1 3/4 is 1,75. Het verschil daartussen is 0,5833…, en 7/12 komt uit op 0,58333…, dus de uitkomsten kloppen met elkaar.
Merk op waarom de omzetting naar onechte breuken hier zoveel schelde: als je 2 1/3 − 1 3/4 direct per onderdeel had aangepakt, had je bij het breukdeel 1/3 − 3/4 gekregen, wat negatief uitvalt, en had je moeten lenen van het hele getal 2. Door eerst om te zetten naar 7/3 en 7/4 werk je alleen nog met gewone breuken en komt dat lenen niet meer voor.
Veelvoorkomende noemerparen en hun kgv
Deze combinaties komen zo vaak voor bij recepten, klusjes en huiswerk dat het handig is om ze uit je hoofd te kennen, zodat je niet elke keer opnieuw hoeft uit te rekenen.
| Noemers | kgv |
|---|---|
| 2 en 3 | 6 |
| 3 en 4 | 12 |
| 4 en 6 | 12 |
| 5 en 10 | 10 |
| 6 en 9 | 18 |
| 8 en 12 | 24 |
Tel of trek je eigen breuken op
Wil je de sommen niet met de hand uitwerken? Vul hieronder je eigen breuken in en de rekenmachine doet de rest, inclusief vereenvoudigen.
Veelgemaakte fouten
De noemers zelf optellen of aftrekken. 1/2 + 1/3 is geen 2/5. De juiste uitkomst is 5/6 (kgv van 2 en 3 is 6, dus 3/6 + 2/6 = 5/6). Noemers vertegenwoordigen de grootte van de stukjes, niet een hoeveelheid die je bij elkaar optelt.
Gemengde getallen niet omzetten vóór het rekenen. Vooral bij aftrekken leidt dit tot verwarring zodra het breukdeel van de tweede term groter is dan dat van de eerste. Zet gemengde getallen altijd eerst om naar onechte breuken, zoals in voorbeeld 2 hierboven.
Het eindresultaat niet vereenvoudigen. Een antwoord als 6/8 is rekenkundig juist maar staat niet in de eenvoudigste vorm; dat had 3/4 moeten zijn. Deel teller en noemer altijd door hun grootste gemene deler voordat je het antwoord noteert.
Het product van de twee noemers gebruiken als snelkoppeling. Voor 4 en 6 geeft dat 24 in plaats van het kleinere kgv van 12. Deze snelkoppeling werkt altijd (het product van twee getallen is per definitie een gemeenschappelijk veelvoud), maar levert vaak grotere getallen op dan nodig, wat betekent dat je aan het eind meer moet vereenvoudigen.
Veelgestelde vragen
Wat als de twee breuken al dezelfde noemer hebben? Dan sla je de eerste twee stappen gewoon over: tel of trek de tellers op en behoud de noemer. Bijvoorbeeld 3/8 + 2/8 = 5/8. Er is dan geen kgv nodig, want de noemers zijn al gelijk.
Moet ik gemengde getallen omzetten vóór het aftrekken? Ja, zeker als het breukdeel van het tweede getal groter is dan dat van het eerste. Doe je dat niet, dan kom je uit op een negatief breukdeel en moet je alsnog lenen van het hele getal, wat de berekening onnodig ingewikkeld maakt. Eerst omzetten naar onechte breuken voorkomt dat probleem volledig.
Is er een snellere methode dan het kgv zoeken? Ja, kruislings vermenigvuldigen: a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd. Voor 1/4 + 1/6 geeft dat (1x6 + 1x4) / (4x6) = 10/24, wat na vereenvoudiging ook uitkomt op 5/12. Deze methode is sneller omdat je geen kgv hoeft te zoeken, maar de noemer bd is niet altijd de kleinste mogelijke, dus je moet aan het eind vaker vereenvoudigen dan bij de kgv-methode.
Hoe zet ik mijn antwoord om naar een decimaal getal? Deel de teller door de noemer. Voor 5/12 geeft dat 5 ÷ 12 = 0,41666…, een repeterende decimaal. Voor 7/12 geeft dezelfde bewerking 0,58333…