Sådan lægger du brøker sammen og trækker fra med forskellige nævnere
For at lægge to brøker med forskellige nævnere sammen eller trække dem fra hinanden skal du først finde en fælles nævner, helst det mindste fælles multiplum (mfm) af de to. Derefter omskriver du begge brøker, så de har den nævner, og til sidst lægger du tællerne sammen eller trækker dem fra hinanden. Nævneren rører du ikke ved undervejs, den er allerede på plads.
Grunden til at det virker, er ret ligetil: en brøk beskriver et forhold, ikke et bestemt par tal. 1/4 og 3/12 er nøjagtig den samme mængde, for du har bare delt hver fjerdedel i tre lige store bidder. Så længe du ganger tæller og nævner med det samme tal, ændrer du udseendet på brøken, men ikke dens værdi. Det er hele tricket bag at finde en fælles nævner: du skriver begge brøker om til brøker, der ser forskellige ud, men dækker over de samme mængder som før, og som nu kan lægges sammen eller trækkes fra, fordi de deler samme “enhed”.
Metoden trin for trin
- Find mfm for de to nævnere. Det er det mindste tal, begge nævnere går op i. Du kan finde det ved at liste multipla af den største nævner (den selv, det dobbelte, det tredobbelte og så videre), indtil du rammer et tal, som også den mindre nævner går op i.
- Omskriv hver brøk, så den får den fælles nævner. Du ganger tæller og nævner med det samme tal for at holde brøkens værdi uændret. Spørg dig selv: “Hvad skal jeg gange den gamle nævner med for at få den nye?” og gang så tælleren med præcis det samme tal.
- Læg tællerne sammen, eller træk dem fra hinanden. Nævneren bliver stående, som den er, for den er allerede fælles for begge brøker på dette tidspunkt.
- Forkort resultatet ved at dividere tæller og nævner med deres største fælles divisor, hvis der er en. Er der ingen fælles divisor ud over 1, er brøken allerede i sin enkleste form.
Det er hele opskriften. Nedenfor er den brugt på et rigtigt additionsstykke og et rigtigt subtraktionsstykke med blandede tal.
Eksempel 1: 1/4 + 1/6
Nævnerne er 4 og 6. Det mindste fælles multiplum af 4 og 6 er 12 (4 går op i 12 tre gange, 6 går op i 12 to gange).
Omskriv begge brøker til tolvtedele:
- 1/4 = 3/12 (gang tæller og nævner med 3)
- 1/6 = 2/12 (gang tæller og nævner med 2)
Læg tællerne sammen: 3/12 + 2/12 = 5/12.
5 og 12 har ingen fælles divisor bortset fra 1, så 5/12 er allerede i sin enkleste form. Det er også svaret. Læg mærke til, at nævneren 12 kun optræder én gang i regnestykket, i selve additionen af tællerne. Alt arbejdet lå i at gøre begge brøker klar til at have den nævner.
Eksempel 2: 2 1/3 − 1 3/4 (blandede tal)
Her er der to blandede tal, og det letteste er at omskrive begge til uægte brøker, før man rører ved nævnerne.
- 2 1/3 = (2 × 3 + 1) / 3 = 7/3
- 1 3/4 = (1 × 4 + 3) / 4 = 7/4
Nu er det bare et almindeligt subtraktionsstykke mellem 7/3 og 7/4. Nævnerne er 3 og 4, og deres mindste fælles multiplum er 12.
- 7/3 = 28/12 (gang med 4)
- 7/4 = 21/12 (gang med 3)
Træk tællerne fra hinanden: 28/12 − 21/12 = 7/12.
Kan vi stole på det svar? Som decimaltal er 2 1/3 lig med 2,3333… og 1 3/4 er 1,75. Trækker vi dem fra hinanden, får vi 0,58333…, og 7/12 er netop 0,58333… som decimal. Regnestykket stemmer.
Bemærk hvorfor det var en god idé at omskrive de blandede tal til uægte brøker først: hvis du i stedet havde forsøgt at trække brøkdelene fra hinanden direkte (1/3 minus 3/4), ville du være endt med en negativ brøkdel, fordi 3/4 er større end 1/3. Så skulle du have “lånt” en hel fra tallet 2, ligesom man låner ved subtraktion med flercifrede tal. Ved at omskrive til uægte brøker med det samme undgår du helt det ekstra trin, og risikoen for at glemme det.
Til sidst er det værd at tjekke, om 7/12 kan forkortes. 7 er et primtal, og 12 er ikke deleligt med 7, så de har ingen fælles divisor ud over 1. Svaret står altså allerede i sin enkleste form, uden at du behøver gøre mere ved det.
Mindste fælles multiplum for gængse nævnerpar
Her er mfm for nogle af de nævnerpar, folk oftest støder på:
| Nævnere | mfm |
|---|---|
| 2 og 3 | 6 |
| 3 og 4 | 12 |
| 4 og 6 | 12 |
| 5 og 10 | 10 |
| 6 og 9 | 18 |
| 8 og 12 | 24 |
Læg mærke til 5 og 10: her er mfm bare den største af de to nævnere, fordi 5 går op i 10. Det sker, hver gang den ene nævner er et multiplum af den anden, og så slipper du for at gange nogen af brøkerne op med mere end nødvendigt. Ved en brøk med nævner 10 og en med nævner 5 skal du altså kun omskrive brøken med nævner 5, den anden brøk rører du slet ikke ved.
Nævnerparrene i tabellen dækker de fleste tilfælde, du støder på i praksis: opskrifter med kopmål, tommer på en tegning, eller almindelige brøker fra skolens matematikbøger. Kender du ikke mfm udenad, virker fremgangsmåden fra trin 1 ovenfor lige så godt på et hvilket som helst andet talpar.
Læg dine egne brøker sammen eller træk dem fra
Vil du bare have svaret uden at regne det ud i hånden? Indtast dine to brøker herunder, vælg læg sammen eller træk fra, og få resultatet forkortet, som blandet tal og som decimal med det samme.
Almindelige fejl
- At lægge eller trække nævnerne sammen med. 1/2 + 1/3 er ikke 2/5. Nævnerne skal være ens, før du overhovedet rører tællerne, og facit her er 5/6 (fælles nævner 6, altså 3/6 + 2/6).
- At glemme at omskrive blandede tal til uægte brøker, før man regner. Uden det skridt risikerer du at skulle håndtere lån eller negative brøkdele midt i udregningen, som i eksempel 2 ovenfor.
- At glemme at forkorte slutresultatet. Et svar som 6/8 er teknisk set korrekt, men skal forkortes til 3/4 for at være i sin enkleste form.
- At bruge produktet af de to nævnere som genvej. At gange nævnerne sammen (for eksempel 3 × 4 = 12 til brøker med nævner 3 og 4) virker altid som fælles nævner, men er ikke nødvendigvis det mindste fælles multiplum. Med nævnere som 4 og 6 giver produktet 24, mens mfm kun er 12. Genvejen virker stadig, men du ender med større tal undervejs og mere at forkorte til sidst.
- At forkorte for tidligt. Nogle forsøger at forkorte en brøk, før de har lagt den om til fælles nævner. Rækkefølgen betyder noget: omskriv til fælles nævner først, regn tællerne sammen, og forkort til allersidst, ellers roder du med to forskellige brøker på samme tid.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad hvis de to brøker allerede har samme nævner? Så springer du hele trin med at finde mfm over. Læg eller træk bare tællerne fra hinanden, og behold nævneren som den er. 3/8 + 2/8 = 5/8.
Skal jeg omskrive blandede tal, før jeg trækker fra? Ja, især hvis brøkdelen i det tal, du trækker fra, er mindre end brøkdelen i det tal, du trækker. Ellers ender du med en negativ brøkdel midt i regnestykket og skal låne fra det hele tal, som i eksempel 2 ovenfor. At omskrive til uægte brøker med det samme fjerner det problem helt.
Findes der en hurtigere metode end at finde det mindste fælles multiplum? Ja, krydsmultiplikation: a/b ± c/d = (ad ± cb) / bd. Den er hurtigere at regne i hovedet, fordi du ikke skal lede efter mfm, men nævneren bd er ikke altid den mindste mulige, så resultatet kan kræve mere forkortning bagefter end hvis du havde brugt mfm fra starten.
Hvordan omregner jeg mit svar til et decimaltal? Divider tælleren med nævneren. 5/12 bliver til 0,41666…, hvor de 6-taller gentager sig i det uendelige.