Como Calcular o Desvio Padrão (Passo a Passo)
Para calcular o desvio padrão, ache a média do conjunto, eleve ao quadrado a diferença entre cada valor e essa média, tire a média desses quadrados e depois extraia a raiz quadrada do resultado. Existem duas variantes: a populacional, que divide pelo total de valores (n), e a amostral, que divide por n menos 1. A escolha entre uma e outra muda o resultado final, então vale entender a diferença antes de aplicar a fórmula em qualquer planilha.
por que a média sozinha não conta a história toda
Duas turmas de alunos podem ter exatamente a mesma média em uma prova e, ainda assim, ter desempenhos muito diferentes entre si. A Turma A tirou 68, 70, 72, 70 e 70. A Turma B tirou 50, 90, 60, 80 e 70. Some as duas listas e divida por cinco: as duas médias batem em 70. Mas olhando aluno por aluno, a Turma A ficou toda grudada perto da média, enquanto a Turma B teve gente indo de 50 a 90 pontos.
É exatamente essa diferença que o desvio padrão mede: o quanto os valores se afastam, em média, do centro do conjunto.
| Turma | Notas | Média | Desvio padrão populacional | Desvio padrão amostral |
|---|---|---|---|---|
| A | 68, 70, 72, 70, 70 | 70 | 1,26 | 1,41 |
| B | 50, 90, 60, 80, 70 | 70 | 14,14 | 15,81 |
O desvio padrão da Turma B é mais de dez vezes maior que o da Turma A, mesmo com a mesma nota média. Se um professor decidisse qualquer coisa olhando só a média, ignoraria que a Turma B tem alunos em extremos bem distintos, enquanto a Turma A é um grupo mais homogêneo. Isso importa em qualquer área que trabalhe com números: notas, salários, tempo de resposta de um servidor, peso de produtos numa linha de produção. A média diz onde o centro está; o desvio padrão diz o quanto os dados se espalham ao redor dele.
a fórmula: populacional ou amostral?
O cálculo tem quatro passos, e eles são os mesmos nos dois casos:
- Calcule a média de todos os valores.
- Subtraia a média de cada valor e eleve o resultado ao quadrado.
- Some todos os quadrados e divida pelo número de valores (populacional) ou pelo número de valores menos 1 (amostral).
- Extraia a raiz quadrada desse número. Esse é o desvio padrão; o valor antes da raiz é a variância.
A diferença entre populacional e amostral está só no divisor do passo 3, mas o motivo por trás disso importa. Use o desvio padrão populacional quando os dados que você tem representam o grupo inteiro que você quer descrever, sem nenhuma parte de fora: as notas de todos os alunos de uma turma, a altura de todos os funcionários de uma empresa pequena, o peso de todas as peças fabricadas em um lote específico.
Use o desvio padrão amostral quando os dados são só uma fatia retirada de um grupo maior que você não conseguiu medir por inteiro: uma pesquisa com 500 pessoas para representar um país, uma amostra de 20 peças tiradas de uma linha de produção que roda milhares por dia. Nesses casos, dividir por n menos 1 (em vez de n) é chamado de correção de Bessel, e ela existe porque uma amostra tende a subestimar a variabilidade real do grupo todo. Dividir por um número menor infla um pouco o resultado, compensando essa tendência.
Na prática, quando a amostra é grande, a diferença entre os dois valores fica pequena. Quando a amostra é pequena, como nos exemplos acima com só cinco ou dez valores, a diferença pode passar de um ponto inteiro, e escolher a fórmula errada muda a conclusão.
exemplo prático: pesagem de caixas de cereal
Uma fábrica de cereal tem como meta encher cada caixa com 500g. Um inspetor de qualidade pesa dez caixas tiradas aleatoriamente da esteira e anota, em gramas: 498, 502, 501, 497, 503, 500, 499, 502, 496, 501.
A soma dos dez valores é 4999g, e a média sai em 4999 ÷ 10 = 499,9g. A amplitude (diferença entre a maior e a menor pesagem) vai de 496g a 503g, ou seja, 7g de variação. Antes mesmo de calcular o desvio padrão, esse número já mostra que nenhuma caixa saiu exatamente nos 500g, mas todas ficaram próximas.
O passo seguinte é olhar cada caixa individualmente e medir o quanto ela se afasta da média de 499,9g:
| Caixa (g) | Desvio (caixa − média) | Desvio ao quadrado |
|---|---|---|
| 498 | −1,9 | 3,61 |
| 502 | 2,1 | 4,41 |
| 501 | 1,1 | 1,21 |
| 497 | −2,9 | 8,41 |
| 503 | 3,1 | 9,61 |
| 500 | 0,1 | 0,01 |
| 499 | −0,9 | 0,81 |
| 502 | 2,1 | 4,41 |
| 496 | −3,9 | 15,21 |
| 501 | 1,1 | 1,21 |
Somando a última coluna: 3,61 + 4,41 + 1,21 + 8,41 + 9,61 + 0,01 + 0,81 + 4,41 + 15,21 + 1,21 = 48,9.
A partir daqui, o caminho se divide conforme o que essas dez caixas representam. Se o inspetor tratar essas dez caixas como o universo inteiro que ele quer descrever (por exemplo, um teste isolado com essas dez unidades específicas), o divisor é n = 10:
- Variância populacional: 48,9 ÷ 10 = 4,89
- Desvio padrão populacional: raiz quadrada de 4,89 ≈ 2,21g
Se, em vez disso, essas dez caixas forem uma amostra tirada de uma esteira que produz milhares de caixas por dia (o cenário mais realista em controle de qualidade), o divisor é n − 1 = 9:
- Variância amostral: 48,9 ÷ 9 ≈ 5,43
- Desvio padrão amostral: raiz quadrada de 5,43 ≈ 2,33g
Na prática, um desvio padrão de pouco mais de 2g em torno de uma meta de 500g indica um processo bem calibrado: a maioria das caixas fica dentro de um intervalo estreito ao redor do alvo, sem pesagens muito fora da curva.
calcule com os seus números
Cole a sua própria lista de valores, separados por vírgula, espaço ou quebra de linha, e a calculadora devolve média, soma, amplitude, variância e os dois desvios padrão (amostral e populacional) na hora.
Separe os valores por vírgulas, espaços ou quebras de linha.
Digite ao menos um número para ver os resultados.
- Quantidade (n)
- —
- Soma
- —
- Média
- —
- Mínimo
- —
- Máximo
- —
- Amplitude
- —
erros comuns ao calcular o desvio padrão
Usar a fórmula errada para o contexto dos dados. Dividir por n quando os dados são uma amostra (ou por n menos 1 quando são a população inteira) gera um resultado ligeiramente incorreto. A diferença é pequena em amostras grandes, mas some cinco ou dez valores e o erro passa a pesar no resultado final, como mostrou o exemplo das caixas de cereal.
Esquecer de elevar os desvios ao quadrado antes de somar. Somar os desvios brutos (valor menos média) sem elevá-los ao quadrado sempre resulta em zero, porque os valores acima da média cancelam os valores abaixo dela. É por isso que a fórmula eleva cada desvio ao quadrado antes de somar: isso torna todos os termos positivos e evita esse cancelamento.
Reportar a variância como se fosse o desvio padrão. A variância é o valor antes da raiz quadrada, e costuma estar em uma unidade diferente da original (gramas ao quadrado, no exemplo da fábrica, em vez de gramas). Esquecer o último passo, a raiz quadrada, é um erro comum em planilhas montadas às pressas.
Confundir amplitude com desvio padrão. A amplitude só olha para o maior e o menor valor do conjunto, ignorando tudo que está no meio. Dois conjuntos podem ter a mesma amplitude e desvios padrão bem diferentes, dependendo de como os valores intermediários estão distribuídos.
perguntas frequentes
Qual a diferença entre desvio padrão amostral e populacional? O populacional divide a soma dos desvios ao quadrado por n (o total de valores) e serve quando os dados cobrem o grupo inteiro que você quer analisar. O amostral divide por n menos 1 e serve quando os dados são uma parte extraída de um grupo maior. O divisor menor no cálculo amostral (correção de Bessel) compensa a tendência de uma amostra subestimar a variação real do grupo todo.
O que significa um desvio padrão baixo ou alto na prática? Um desvio padrão baixo, relativo à média do conjunto, indica que os valores estão concentrados perto do centro, como no exemplo da Turma A. Um desvio padrão alto indica valores mais espalhados, como na Turma B, mesmo com a mesma média. Não existe um número universal de corte entre baixo e alto: isso depende da escala e do contexto dos dados que você está analisando.
O desvio padrão pode ser negativo? Não. Como a fórmula eleva cada desvio ao quadrado antes de somar, o resultado dentro da raiz nunca é negativo, e a raiz quadrada de um número não negativo também não é. O valor mínimo possível é zero, e isso só acontece quando todos os valores do conjunto são idênticos entre si.
Como o desvio padrão se relaciona com a variância? A variância é o desvio padrão elevado ao quadrado, ou visto de outro ângulo, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. A variância costuma ser mais usada em cálculos estatísticos intermediários, enquanto o desvio padrão é preferido para comunicar resultados porque volta à mesma unidade dos dados originais (gramas, reais, pontos), o que a variância não faz.